Determine o limite, se existif, ou mostre que o limite năo existe.
lim (x, y) infty, infty x y^4x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
lim(x,y)to(infty,infty)x,y^4x^2+y^2
Aqui “ (x,y)to(infty,infty)” significa que x e y vão simultaneamente para +infty. Para existir, o valor da função deve convergir ao mesmo número para qualquer maneira de fazer x,ytoinfty. Se encontrarmos dois caminhos que dão resultados distintos, o limite não existe.

Passo 2

Vamos explorar caminhos do tipo
y = x^alpha, alpha>0,
de modo que xtoinfty implique ytoinfty. Substituindo em
f(x,y)=x,y^4x^2+y^2
obtém-se
fl(x,x^alphar) =x,(x^alpha)^4x^2+(x^alpha)^2 =x^4alpha+1x^2+x^2alpha

Passo 3

Analisemos o comportamento do denominador para xtoinfty:
Caso 1: alpha<1. Então x^2gg x^2alpha e
fl(x,x^alphar)sim x^4alpha+1x^2 = x^4alpha-1
  • Se 4alpha-1<0 (i.e.\ alpha<tfrac14), então fto 0.
  • Se 4alpha-1=0 (i.e.\ alpha=tfrac14), então fto 1.
  • Se 4alpha-1>0 (i.e.\ tfrac14<alpha<1), então fto+infty.

Passo 4

Caso 2: alpha>1. Aqui x^2alphagg x^2, logo
fl(x,x^alphar)sim x^4alpha+1x^2alpha =x^2alpha+1to+infty

Passo 5

Vimos que, dependendo de alpha, a mesma expressão tende a 0, a 1 ou a +infty. Como não há um único valor limite para todos os caminhos, conclui-se que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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