(valor: 1,5 ) Seja f: R^3 R tal que f(x, y, z)=ln (x^2y)+z. Suponha que uma partícula descreve uma trajetória parametrizada pelo parâmetro t. Calcule partial fpartial t para t=0 assumindo que em t=0 ela está na posição ( 1,2,3 ) e além disso, x^prime(0)=2, y^prime(0)=3, z^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=ln!gl(x^2ygr)+z
e uma trajetória (x(t),y(t),z(t)). Queremos calcular
partial fpartial tl|t=0
sabendo que em t=0 temos (x,y,z)=(1,2,3) e x'(0)=2, y'(0)=3, z'(0)=1. O método será usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de f. Para isso note que
ln(x^2/y)=ln(x^2)-ln(y)=2ln(x)-ln(y).
Logo
partial fpartial x =ddxl(2ln(x)r) =2cdot1x =2x,
partial fpartial y =ddyl(-ln(y)r) =-1y,
partial fpartial z =ddz(z) =1

Passo 3

Pela regra da cadeia,
partial fpartial t =partial fpartial x,x'(t) +partial fpartial y,y'(t) +partial fpartial z,z'(t)

Passo 4

Em t=0, temos (x,y,z)=(1,2,3) e (x',y',z')=(2,3,1). Então
partial fpartial xl|(1,2,3) =21=2, partial fpartial yl|(1,2,3) =-12, partial fpartial zl|(1,2,3) =1
Substituindo na regra da cadeia:
partial fpartial tl|t=0 =2cdot2 + l(-tfrac12r)cdot3 + 1cdot1 =4 - tfrac32 +1 =tfrac72

Resposta

partial fpartial tl|t=0=72

Exercícios relacionados