(valor: 2,0 ) Considere f(x, y)=e^x-1-1e^2 y-1
(a) Qual é o domínio de f(x, y) ?
(b) Mostre que lim (x, y) (1,0) f(x, y) não existe.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=e^x-1-1e^2y-1,
e pede (a) o domínio de f e (b) mostrar que
lim(x,y)to(1,0)f(x,y) não existe.
Conteúdo: domínio de função de duas variáveis (evitar denominação zero) e limite de função de duas variáveis (mostrar dependência de caminho).

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos onde o denominador é zero. Precisamos de
e^2y-1 neq 0

Passo 3

A equação e^2y-1=0 ocorre apenas quando 2y=0, ou seja, y=0. Logo o domínio é
(x,y)inR^2 : yneq 0

Passo 4

Para mostrar que
lim(x,y)to(1,0)f(x,y) não existe, escolhemos primeiro o caminho
x=1, yto 0

Passo 5

Nesse caso, para todo yneq0 temos
f(1,y)=e^1-1-1e^2y-1 =1-1e^2y-1=0
Logo
limyto0f(1,y)=0

Passo 6

Agora escolhemos um segundo caminho que relacione x e y, por exemplo
x-1=2y, yto0

Passo 7

Ao longo de x=1+2y e yto0, tanto x-1=2yto0 quanto 2yto0, e usamos a expansão e^t-1sim t para pequenas t. Temos
f(1+2y,y) =e^(1+2y)-1-1e^2y-1 =e^2y-1e^2y-1longrightarrow1

Passo 8

Como pelo caminho x=1 o limite vale 0 e pelo caminho x-1=2y vale 1, os dois limites são diferentes. Portanto
lim(x,y)to(1,0)f(x,y)
não existe.

Resposta

(a) (x,y)inR^2 : yneq0
(b) Não existe, pois em caminhos distintos obtemos limites diferentes (0 e 1).

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