Com uma chapa retangular de alumínio de
, deseja-se construir uma caixa retangular sem tampa com maior volume possível. Determine as dimensões e o volume dessa caixa.
- Resposta : Base quadrada com lado igual a
e altura igual a
;
Passo 1
O enunciado diz que temos uma chapa de alumínio de
,m
e queremos construir uma caixa retangular sem tampa que maximize o volume. O conteúdo é otimização de função (volume) sob uma restrição (área disponível).
Passo 2
Definimos as variáveis da seguinte forma:
comprimento da base (m)
largura da base (m)
altura da caixa (m)
A área da chapa é usada na base e nas quatro faces laterais, sem tampa. Assim a restrição de área é
A área da chapa é usada na base e nas quatro faces laterais, sem tampa. Assim a restrição de área é
O volume vale
Passo 3
Da restrição de área isolamos
:
Substituímos esse
na expressão de
para obter
Passo 4
Note que pela simetria da fórmula de
em
e
, o máximo ocorre quando a base é quadrada, isto é,
Passo 5
Tomando
, a restrição fica
O volume torna-se função de
só:
Passo 6
Para achar o máximo, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Então
Passo 7
O volume máximo é
Resposta
A caixa de maior volume tem base quadrada de lado
,m e altura
,m, e seu volume é