Com uma chapa retangular de alumínio de , deseja-se construir uma caixa retangular sem tampa com maior volume possível. Determine as dimensões e o volume dessa caixa.
  • Resposta : Base quadrada com lado igual a e altura igual a ;

Passo 1

O enunciado diz que temos uma chapa de alumínio de 144,m ^2 e queremos construir uma caixa retangular sem tampa que maximize o volume. O conteúdo é otimização de função (volume) sob uma restrição (área disponível).

Passo 2

Definimos as variáveis da seguinte forma:
x = comprimento da base (m)
y = largura da base (m)
h = altura da caixa (m)
A área da chapa é usada na base e nas quatro faces laterais, sem tampa. Assim a restrição de área é
xy ;+; 2,h,(x+y) ;=; 144
O volume vale
V ;=; xyh

Passo 3

Da restrição de área isolamos h:
h ;=;144 - xy2,(x+y)
Substituímos esse h na expressão de V para obter
V(x,y) ;=;xy,(144 - xy)2,(x+y)

Passo 4

Note que pela simetria da fórmula de V(x,y) em x e y, o máximo ocorre quando a base é quadrada, isto é,
x = y

Passo 5

Tomando x=y, a restrição fica
x^2 + 4,x,h = 144 Longrightarrow h = 144 - x^24x
O volume torna-se função de x só:
V(x) = x^2,h = x^2 ,144 - x^24x = x,(144 - x^2)4 = 36,x ;-;x^34

Passo 6

Para achar o máximo, derivamos em relação a x e igualamos a zero:
dVdx = 36 ;-;3,x^24 = 0 Longrightarrow x^2 = 48 Longrightarrow x = 4raiz3
Então
h = 144 - (4raiz3)^24,(4raiz3) = 144 - 4816raiz3 = 9616raiz3 = 2raiz3

Passo 7

O volume máximo é
Vmax = x^2,h = (4raiz3)^2 ,l(2raiz3r) = 48 cdot 2raiz3 = 96raiz3,m^3

Resposta

A caixa de maior volume tem base quadrada de lado 4raiz3,m e altura 2raiz3,m, e seu volume é
96raiz3,m^3

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