Determine o limite, quando existir:
b) \lim_{x \to 3} x = 3

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se determinar o valor de \displaystyle \lim_{x\to 3} x.
  • A expressão considerada é a função identidade f(x)=x (isto é, para cada x real, o valor da função é igual ao próprio x).
  • O ponto de aproximação é x=3.
  • Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Entendimento intuitivo (sem formalismo ainda): quando escrevemos \displaystyle \lim_{x\to 3} x estamos perguntando qual número as imagens x da função estão se aproximando quando x fica cada vez mais perto de 3. Como a função só devolve o próprio x, se x se aproxima de 3 temos razão para esperar que os valores x também se aproximem de 3. Portanto, intuitivamente o limite deve ser 3.

Passo 3

Explicando o conceito usado: definição de limite (intuição formalizada).
  • Dizemos que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L se os valores f(x) podem ser feitos arbitrariamente próximos de L sempre que x for suficientemente próximo de a (com x\neq a se quisermos).
  • Uma forma prática: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon.
Vou usar essa definição para provar o limite de forma rigorosa.

Passo 4

Prova \varepsilon- \delta para \displaystyle \lim_{x\to 3} x.
  • Começamos com uma desigualdade que queremos satisfazer: dado \varepsilon>0, precisamos encontrar \delta>0 tal que
0<|x-3|<\delta \quad\Rightarrow\quad |x-3|<\varepsilon.
  • Aqui note que para a função f(x)=x temos |f(x)-3|=|x-3|. Então a condição que queremos é exatamente a mesma que controla a proximidade de x a 3.
  • Uma escolha natural (e suficiente) é tomar
\delta=\varepsilon.
  • Verificação: se 0<|x-3|<\delta=\varepsilon, então |x-3|<\varepsilon, ou seja |f(x)-3|<\varepsilon. Isso cumpre a definição de limite.
Portanto, para todo \varepsilon>0 existe \delta=\varepsilon>0 que garante a condição, o que prova que
\lim_{x\to 3} x = 3.

Passo 5

Outra justificativa curta e intuitiva (critério de sequência):
  • Se toda sequência (x_n) que converge para 3 tem a propriedade de que f(x_n) converge para o mesmo limite, então \lim_{x\to 3} f(x)=3.
  • Para f(x)=x temos f(x_n)=x_n. Se x_n\to 3 então f(x_n)=x_n\to 3. Logo pelo critério sequencial o limite também é 3.

Passo 6

Observação final e dica prática para a prova:
  • A função identidade f(x)=x é contínua em todo ponto. Para funções contínuas vale a regra de substituição direta: \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Assim, sem precisar do \varepsilon- \delta toda vez, pode-se usar continuidade e obter \lim_{x\to 3} x = 3.
  • Dica: em provas, reconheça funções polinomiais, razão de polinômios (quando denominador não zera no ponto) e funções elementares contínuas; para essas, costuma bastar a substituição direta. Se houver dúvida, faça o pequeno \varepsilon- \delta como fizemos.

Resposta

3

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