Determine o limite, quando existir:
b)
b)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se determinar o valor de
. - A expressão considerada é a função identidade
(isto é, para cada real, o valor da função é igual ao próprio ). - O ponto de aproximação é
. - Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
Entendimento intuitivo (sem formalismo ainda): quando escrevemos
estamos perguntando qual número as imagens
da função estão se aproximando quando
fica cada vez mais perto de
. Como a função só devolve o próprio
, se
se aproxima de
temos razão para esperar que os valores
também se aproximem de
. Portanto, intuitivamente o limite deve ser
.
Passo 3
Explicando o conceito usado: definição de limite (intuição formalizada).
- Dizemos que
se os valores podem ser feitos arbitrariamente próximos de sempre que for suficientemente próximo de (com se quisermos). - Uma forma prática: para todo
existe tal que, sempre que , então .
Vou usar essa definição para provar o limite de forma rigorosa.
Passo 4
Prova
-
para
.
- Começamos com uma desigualdade que queremos satisfazer: dado
, precisamos encontrar tal que
- Aqui note que para a função
temos . Então a condição que queremos é exatamente a mesma que controla a proximidade de a . - Uma escolha natural (e suficiente) é tomar
- Verificação: se
, então , ou seja . Isso cumpre a definição de limite.
Portanto, para todo
existe
que garante a condição, o que prova que
Passo 5
Outra justificativa curta e intuitiva (critério de sequência):
- Se toda sequência
que converge para tem a propriedade de que converge para o mesmo limite, então . - Para
temos . Se então . Logo pelo critério sequencial o limite também é .
Passo 6
Observação final e dica prática para a prova:
- A função identidade
é contínua em todo ponto. Para funções contínuas vale a regra de substituição direta: . Assim, sem precisar do - toda vez, pode-se usar continuidade e obter . - Dica: em provas, reconheça funções polinomiais, razão de polinômios (quando denominador não zera no ponto) e funções elementares contínuas; para essas, costuma bastar a substituição direta. Se houver dúvida, faça o pequeno
- como fizemos.