Determine o intervalo ao qual x deve pertencer, de modo que f(x) assuma valores com afastamento máximo de 0,001 do valor 3 , para f(x)=2 x+1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x+1 e pede: encontrar o intervalo de valores de x tais que os valores de f(x) fiquem a, no máximo, 0{,}001 de distância do número 3. Informações relevantes:
  • Função: f(x)=2x+1.
  • Valor central: 3.
  • Tolerância (afastamento máximo): 0{,}001.
  • O que se pede: o conjunto de x que garante essa tolerância para f(x).

Passo 2

Converter a ideia de "distância de f(x) até 3 ser no máximo 0{,}001" para uma desigualdade com valor absoluto. A distância entre dois números a e b é representada por |a-b|. Portanto a condição fica:
|f(x)-3| \le 0{,}001.
Explicação didática: |f(x)-3| mede quanto f(x) se afasta de 3. Pedimos que esse afastamento seja menor ou igual a 0{,}001.

Passo 3

Substituir f(x)=2x+1 na desigualdade:
|2x+1-3| \le 0{,}001.
Simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
|2x-2| \le 0{,}001.

Passo 4

Fatorar o 2 em comum e usar a propriedade |ab|=|a||b|:
|2(x-1)| = |2|\,|x-1| = 2|x-1|.
Assim a desigualdade passa a ser
2|x-1| \le 0{,}001.

Passo 5

Dividir ambos os lados da desigualdade por 2. Como 2>0, a direção da desigualdade não muda. Obtemos:
|x-1| \le \frac{0{,}001}{2} = 0{,}0005.
Explicação didática: dividir por uma constante positiva reduz a tolerância proporcionalmente — aqui a inclinação 2 da função faz com que o intervalo para x seja metade da tolerância em f(x).

Passo 6

Transformar a desigualdade de valor absoluto em uma desigualdade dupla. A desigualdade |x-1| \le 0{,}0005 é equivalente a
-0{,}0005 \le x-1 \le 0{,}0005.
Somando 1 em todas as partes para isolar x:
1-0{,}0005 \le x \le 1+0{,}0005.
Calcular os extremos:
0{,}9995 \le x \le 1{,}0005.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova: o conjunto de x que garante que f(x) fique a no máximo 0{,}001 de 3 é o intervalo fechado [0{,}9995,\,1{,}0005]. Observação prática: para uma reta f(x)=m x+b, uma tolerância \varepsilon em f(x) corresponde a uma tolerância \varepsilon/|m| em x quando se quer afastamento em relação a um valor fixo.

Resposta

x \in [0{,}9995,\,1{,}0005]

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