Determine o intervalo ao qual
deve pertencer, de modo que
assuma valores com afastamento máximo de 0,001 do valor 3 , para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: encontrar o intervalo de valores de
tais que os valores de
fiquem a, no máximo,
de distância do número
. Informações relevantes:
- Função:
. - Valor central:
. - Tolerância (afastamento máximo):
. - O que se pede: o conjunto de
que garante essa tolerância para .
Passo 2
Converter a ideia de "distância de
até
ser no máximo
" para uma desigualdade com valor absoluto. A distância entre dois números
e
é representada por
. Portanto a condição fica:
Explicação didática:
mede quanto
se afasta de
. Pedimos que esse afastamento seja menor ou igual a
.
Passo 3
Substituir
na desigualdade:
Simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Passo 4
Fatorar o
em comum e usar a propriedade
:
Assim a desigualdade passa a ser
Passo 5
Dividir ambos os lados da desigualdade por
. Como
, a direção da desigualdade não muda. Obtemos:
Explicação didática: dividir por uma constante positiva reduz a tolerância proporcionalmente — aqui a inclinação
da função faz com que o intervalo para
seja metade da tolerância em
.
Passo 6
Transformar a desigualdade de valor absoluto em uma desigualdade dupla. A desigualdade
é equivalente a
Somando
em todas as partes para isolar
:
Calcular os extremos:
Passo 7
Interpretação final e dica para prova: o conjunto de
que garante que
fique a no máximo
de
é o intervalo fechado
. Observação prática: para uma reta
, uma tolerância
em
corresponde a uma tolerância
em
quando se quer afastamento em relação a um valor fixo.