Determine o limite, se existir, justificando a sua resposta ou mostre que o limite não existe.
(a) lim (x, y) (1,1) x^2 cos (pi x y)+x y^2

Passo 1

Estamos procurando determinar o limite da função quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos verificar se a função é contínua no ponto . Se for contínua, o limite será simplesmente o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos analisar a continuidade das partes da função:
  1. : É um polinômio, e polinômios são continuos em todo o seu domínio.
  2. : A função cosseno é contínua para todos os seus argumentos, e é um produto de funções contínuas, portanto, também é contínua.
  3. : É um produto de polinômios, que são continuos em todo o domínio.
Como todas as partes da função são contínuas no ponto , a função total também é contínua nesse ponto.

Passo 3

Como a função é contínua em lim (x, y) (1,1) x^2 cos (pi x y)+x y^2 = 1^2 cos (pi cdot 1 cdot 1) + 1 cdot 1^2 , podemos calcular o limite substituindo diretamente os valores de 1^2 = 1 e cos (pi cdot 1 cdot 1) = cos (pi) = -1 por 1:
1 cdot 1^2 = 1
Calculando cada parte:
1 cdot (-1) + 1 = -1 + 1 = 0
Substituindo de volta:

Resposta

O limite é 0.

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