Determine o limite, se existir, justificando a sua resposta ou mostre que o limite não existe.
(b) lim (x, y) (2,1) x y-y(x-1)^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o limite da função quando os pontos se aproximam de . Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, uma parte da matemática que estuda como as funções se comportam quando nos aproximamos de certos pontos. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos de aproximação para .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Podemos fatorar o numerador:
xy - y = y(x - 1)
Então, a função fica:
y(x - 1)(x-1)^2 + y^2

Passo 3

Agora, queremos ver o que acontece com essa função quando 1(2 - 1)(2-1)^2 + 1^2 = 1 times 11 + 1 = 12 se aproxima de . Vamos substituir e na expressão simplificada:
Parece que o limite pode ser , mas precisamos ter certeza de que esse valor é o mesmo independente do caminho que usamos para chegar a .

Passo 4

Vamos testar diferentes caminhos de aproximação:
Caminho 1: Aproximando-se ao longo da linha 1(x - 1)(x-1)^2 + 1
Aqui, 1(2 - 1)(2-1)^2 + 1 = 11 + 1 = 12 , então substituímos na função:
y(2 - 1)(2-1)^2 + y^2 = y1 + y^2
Agora, calculamos o limite quando 11 + 1 = 12 :
(x - 1)(x - 1)(x-1)^2 + (x - 1)^2 = (x - 1)^22(x - 1)^2 = 12
Caminho 2: Aproximando-se ao longo da linha
Aqui, , então substituímos na função:
Calculamos o limite quando :
Caminho 3: Aproximando-se ao longo da curva
Substituímos na função:

Passo 5

Em todos os caminhos que testamos, o limite da função é . Isso sugere que, independentemente da direção pela qual nos aproximamos de , o valor do limite é o mesmo.

Resposta

O limite da função quando se aproxima de é .

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