Determine o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{3}-x+1}{6 x^{3}+2 x^{2}-7}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a infinito da razão entre dois polinômios:
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^{3}-x+1}{6x^{3}+2x^{2}-7}.
Informações dadas que são relevantes:
  • O numerador é o polinômio 3x^{3}-x+1.
  • O denominador é o polinômio 6x^{3}+2x^{2}-7.
  • Ambos têm termo de maior grau igual a x^{3} (grau 3).
  • A pergunta é: qual é o valor do limite \lim_{x\to\infty} dessa razão (se existir)?

Passo 2

Ideia do método (sem ainda calcular): quando x cresce muito, os termos de maior grau nos polinômios costumam dominar o valor total — os termos de menor grau ficam desprezíveis comparados a potências altas de x. Uma forma sistemática de usar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (aqui x^{3}). Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{3}. Escrevo a expressão equivalente:
\frac{3x^{3}-x+1}{6x^{3}+2x^{2}-7} = \frac{\dfrac{3x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{x}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{\dfrac{6x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{7}{x^{3}}}.

Passo 4

Simplifico cada fração dentro da expressão:
\frac{3x^{3}-x+1}{6x^{3}+2x^{2}-7} = \frac{3-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{6+\dfrac{2}{x}-\dfrac{7}{x^{3}}}.
Explanação: \dfrac{x}{x^{3}}=\dfrac{1}{x^{2}}, \dfrac{2x^{2}}{x^{3}}=\dfrac{2}{x}, etc.

Passo 5

Fato importante usado a seguir: para qualquer inteiro positivo k, temos
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.
Intuição simples: conforme x cresce sem limite, x^{k} cresce muito e o recíproco vai a zero. Logo todos os termos com potências positivas de x no denominador desaparecem no limite.

Passo 6

Aplicando esse fato aos termos da fração simplificada:
\lim_{x\to\infty}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\left(-\frac{7}{x^{3}}\right)=0.

Passo 7

Agora passo o limite pela fração já simplificada (operador limite respeita soma, subtração e divisão quando o denominador tende a número não nulo):
\lim_{x\to\infty}\frac{3-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{6+\dfrac{2}{x}-\dfrac{7}{x^{3}}} = \frac{3-0+0}{6+0-0}.

Passo 8

Calculo a razão final dos coeficientes líderes:
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Comentário final: isso confirma a regra prática para funções racionais com mesmos graus no numerador e denominador — o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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