Determine o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a infinito da razão entre dois polinômios:
Informações dadas que são relevantes:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - Ambos têm termo de maior grau igual a
(grau ). - A pergunta é: qual é o valor do limite
dessa razão (se existir)?
Passo 2
Ideia do método (sem ainda calcular): quando
cresce muito, os termos de maior grau nos polinômios costumam dominar o valor total — os termos de menor grau ficam desprezíveis comparados a potências altas de
. Uma forma sistemática de usar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui
). Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Escrevo a expressão equivalente:
Passo 4
Simplifico cada fração dentro da expressão:
Explanação:
,
, etc.
Passo 5
Fato importante usado a seguir: para qualquer inteiro positivo
, temos
Intuição simples: conforme
cresce sem limite,
cresce muito e o recíproco vai a zero. Logo todos os termos com potências positivas de
no denominador desaparecem no limite.
Passo 6
Aplicando esse fato aos termos da fração simplificada:
Passo 7
Agora passo o limite pela fração já simplificada (operador limite respeita soma, subtração e divisão quando o denominador tende a número não nulo):
Passo 8
Calculo a razão final dos coeficientes líderes:
Comentário final: isso confirma a regra prática para funções racionais com mesmos graus no numerador e denominador — o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.