Determine o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações dadas:
- A expressão é uma função racional cujo numerador é
e o denominador é . - A variável
tende para .
Pergunta a responder: qual é o valor do limite — um número finito,, ou não existe?
Passo 2
Vamos entender o comportamento das potências quando
cresce muito. Ideia central: entre termos polinomiais em
, os de maior grau dominam o comportamento para
. Aqui:
- o numerador tem termo de maior grau
(grau ), - o denominador tem termo de maior grau
(grau ).
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, esperamos que o quociente cresça em módulo sem se estabilizar em um número finito. Precisamos determinar o sinal (se vai paraou ).
Passo 3
Para formalizar isso, fatoramos as maiores potências para ver o comportamento assintótico. Extraímos
do numerador e
do denominador:
Expliquei cada passo:
- escrevi
, - escrevi
, - cancelei um fator
resultando em multiplicando a fração residual.
Passo 4
Agora analisamos a fração residual quando
:
À medida que
temos
e
. Portanto, pelo limite de funções simples,
Isso significa que, para
grande, a expressão original se comporta como
vezes algo muito próximo de
.
Passo 5
Como o fator externo é
e
, o produto tende a
. Em palavras: o numerador cresce em módulo como
negativo (porque tem sinal
), o denominador cresce como
positivo, então o quociente cresce com sinal negativo em módulo aproximadamente proporcional a
. Assim o limite diverge para menos infinito.
Passo 6
Para intuição numérica rápida: escolha
,
e para
o valor já fica aproximadamente
. Isso confirma que os valores continuam caindo sem bound para valores negativos maiores em módulo.