Determine o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2-x^{2}}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x\to\infty} \frac{2 - x^{2}}{x + 3}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função racional cujo numerador é 2 - x^{2} e o denominador é x + 3.
  • A variável x tende para +\infty.
    Pergunta a responder: qual é o valor do limite — um número finito, +\infty, -\infty ou não existe?

Passo 2

Vamos entender o comportamento das potências quando x cresce muito. Ideia central: entre termos polinomiais em x, os de maior grau dominam o comportamento para x\to\infty. Aqui:
  • o numerador tem termo de maior grau -x^{2} (grau 2),
  • o denominador tem termo de maior grau x (grau 1).
    Como o grau do numerador é maior que o do denominador, esperamos que o quociente cresça em módulo sem se estabilizar em um número finito. Precisamos determinar o sinal (se vai para +\infty ou -\infty).

Passo 3

Para formalizar isso, fatoramos as maiores potências para ver o comportamento assintótico. Extraímos x^{2} do numerador e x do denominador:
\frac{2 - x^{2}}{x + 3} = \frac{-x^{2}\!\left(1 - \dfrac{2}{x^{2}}\right)}{x\!\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)} = -x \cdot \frac{1 - \dfrac{2}{x^{2}}}{1 + \dfrac{3}{x}}.
Expliquei cada passo:
  • escrevi 2 - x^{2} = -x^{2}\left(1 - \dfrac{2}{x^{2}}\right),
  • escrevi x + 3 = x\left(1 + \dfrac{3}{x}\right),
  • cancelei um fator x resultando em -x multiplicando a fração residual.

Passo 4

Agora analisamos a fração residual quando x\to\infty:
\frac{1 - \dfrac{2}{x^{2}}}{1 + \dfrac{3}{x}}.
À medida que x\to\infty temos \dfrac{2}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{3}{x}\to 0. Portanto, pelo limite de funções simples,
\lim_{x\to\infty} \frac{1 - \dfrac{2}{x^{2}}}{1 + \dfrac{3}{x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.
Isso significa que, para x grande, a expressão original se comporta como -x vezes algo muito próximo de 1.

Passo 5

Como o fator externo é -x e \lim_{x\to\infty} (-x) = -\infty, o produto tende a -\infty. Em palavras: o numerador cresce em módulo como x^{2} negativo (porque tem sinal -), o denominador cresce como x positivo, então o quociente cresce com sinal negativo em módulo aproximadamente proporcional a x. Assim o limite diverge para menos infinito.

Passo 6

Para intuição numérica rápida: escolha x=100,
\frac{2-100^{2}}{100+3}=\frac{2-10000}{103}=\frac{-9998}{103}\approx -97{,}06,
e para x=1000 o valor já fica aproximadamente -1000. Isso confirma que os valores continuam caindo sem bound para valores negativos maiores em módulo.

Resposta

-\infty

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