Determine o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+2}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+2}{x-1}.
Informações dadas: a função é a razão entre os polinômios x^{2}+2 (numerador) e x-1 (denominador). A variável x tende para +\infty. Não há outras condições (como descontinuidade) no enunciado.

Passo 2

Estratégia escolhida: usar divisão de polinômios (ou comparar graus dos polinômios). Vou mostrar a divisão passo a passo porque é um jeito prático de ver o comportamento dominante da expressão quando x cresce muito. A ideia é escrever a fração como uma soma de termos cuja contribuição no infinito é fácil de analisar.

Passo 3

Fazendo a divisão de x^{2}+2 por x-1:
Primeiro, dividimos o termo de maior grau: \frac{x^{2}}{x}=x. Multiplicamos x-1 por x e subtraímos:
(x^{2}+2) - (x-1)\cdot x = (x^{2}+2) - (x^{2}-x)=x+2.
Agora dividimos x+2 por x-1. O termo constante da divisão é +1 porque \frac{x}{x}=1. Multiplicamos x-1 por 1 e subtraímos:
(x+2) - (x-1)\cdot 1 = (x+2) - (x-1)=3.
Portanto a divisão completa dá
\frac{x^{2}+2}{x-1}=x+1+\frac{3}{x-1}.

Passo 4

Agora analisamos o limite termo a termo. Temos
\lim_{x\to\infty}\left(x+1+\frac{3}{x-1}\right).
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} x = +\infty porque x cresce sem limite quando x\to\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} 1 = 1.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3}{x-1}=0 porque o denominador (x-1) cresce sem limite, então a fração tende a zero.
Somando essas observações, o termo dominante é x, que diverge para +\infty; a adição de 1 e de um termo que vai a 0 não impede a divergência. Logo o limite é +\infty.
Como explicação extra para intuição: para x grande e positivo, \frac{x^{2}+2}{x-1} comporta-se aproximadamente como \frac{x^{2}}{x}=x, portanto cresce sem bound. Exemplo numérico: para x=100 temos \frac{100^{2}+2}{100-1}=\frac{10002}{99}\approx 101{,}03, já bem grande.

Passo 5

Conclusão final: o limite não é um número finito; a expressão cresce sem limite quando x\to\infty, portanto o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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