Determine o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite
Informações dadas: a função é a razão entre os polinômios
(numerador) e
(denominador). A variável
tende para
. Não há outras condições (como descontinuidade) no enunciado.
Passo 2
Estratégia escolhida: usar divisão de polinômios (ou comparar graus dos polinômios). Vou mostrar a divisão passo a passo porque é um jeito prático de ver o comportamento dominante da expressão quando
cresce muito. A ideia é escrever a fração como uma soma de termos cuja contribuição no infinito é fácil de analisar.
Passo 3
Fazendo a divisão de
por
:
Primeiro, dividimos o termo de maior grau:
. Multiplicamos
por
e subtraímos:
Agora dividimos
por
. O termo constante da divisão é
porque
. Multiplicamos
por
e subtraímos:
Portanto a divisão completa dá
Passo 4
Agora analisamos o limite termo a termo. Temos
-
porque cresce sem limite quando . -
. -
porque o denominador cresce sem limite, então a fração tende a zero.
Somando essas observações, o termo dominante é
, que diverge para
; a adição de
e de um termo que vai a
não impede a divergência. Logo o limite é
.
Como explicação extra para intuição: para
grande e positivo,
comporta-se aproximadamente como
, portanto cresce sem bound. Exemplo numérico: para
temos
, já bem grande.
Passo 5
Conclusão final: o limite não é um número finito; a expressão cresce sem limite quando
, portanto o limite é
.