Determine o limite, quando existir:
\quad \lim _{x \rightarrow-2}(3 x-1)^{5}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: determinar, quando existir, o limite
\lim_{x \rightarrow -2} (3x-1)^5.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função cuja limite se quer é f(x)=(3x-1)^5.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=-2.
  • Não há restrições no domínio: a expressão 3x-1 e a potência quinta estão definidas para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): se uma função g é contínua em um ponto a, então
\lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Duas observações simples para esta questão:
  • A função \ell(x)=3x-1 é uma função linear (reta) e, portanto, é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função potência t\mapsto t^5 é contínua em todo o conjunto dos números reais.
Como f é a composição de uma função linear contínua com a função potência contínua, f também é contínua em todo ponto; em particular em x=-2. Logo podemos calcular o limite por substituição direta:
\lim_{x\to -2} (3x-1)^5 = \bigl( \lim_{x\to -2} (3x-1) \bigr)^5.

Passo 3

Calcular primeiro o valor interno:
\lim_{x\to -2} (3x-1) = 3\cdot(-2)-1.
Agora efetuar a conta:
3\cdot(-2)-1 = -6-1 = -7.
Portanto
\lim_{x\to -2} (3x-1) = -7,
e, por continuidade da potência,
\lim_{x\to -2} (3x-1)^5 = (-7)^5.

Passo 4

Agora calcular a potência (-7)^5. Como a potência é ímpar, o sinal será negativo e o módulo é 7^5. Vamos calcular passo a passo para não errar:
7^2=49,\qquad 7^3=49\cdot7=343,
7^4=343\cdot7=2401,\qquad 7^5=2401\cdot7=16807.
Portanto
(-7)^5 = -16807.

Passo 5

Conclusão didática e dica para a prova: a função dada é contínua em x=-2, então o limite existe e é obtido substituindo x=-2 na expressão. Sempre que encontrar polinômios, funções lineares, ou potências como aqui, a substituição direta é o caminho mais rápido — desde que o ponto pertença ao domínio (aqui pertence). Mantenha a calma na prova: faça a substituição e calcule a potência passo a passo para evitar erros aritméticos.

Resposta

-16807

Exercícios relacionados