Determine o limite, quando existir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a considerar é
. - O ponto de aproximação é
.
A pergunta é: qual é o valor desse limite, se ele existir?
Passo 2
Ideia usada (explicação didática): quando uma função é contínua num ponto, o limite quando
tende a esse ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Mais formalmente, uma função
é contínua em
se
Propriedades úteis que vamos usar:
- Polinômios são funções contínuas em todo ponto.
- Somas e produtos de funções contínuas também são contínuas.
A expressão
é produto de duas funções polinomiais (
e
), logo é contínua em todo ponto, em particular em
. Portanto podemos calcular o limite apenas substituindo
:
Passo 3
Agora fazemos a substituição e simplificamos passo a passo.
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Substituindo:
Calcule
:
então
Passo 4
Podemos deixar o resultado na forma fatorada ou expandi-lo. Expandindo:
Como a função é contínua no ponto, esse é o valor do limite.