Determine o limite, quando existir:
\lim _{x \rightarrow \sqrt{2}}\left(x^{2}+3\right)(x-4)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \sqrt{2}} \bigl(x^{2}+3\bigr)(x-4).
Informações dadas:
  • A expressão a considerar é \bigl(x^{2}+3\bigr)(x-4).
  • O ponto de aproximação é x \to \sqrt{2}.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite, se ele existir?

Passo 2

Ideia usada (explicação didática): quando uma função é contínua num ponto, o limite quando x tende a esse ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Mais formalmente, uma função f é contínua em a se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Propriedades úteis que vamos usar:
  • Polinômios são funções contínuas em todo ponto.
  • Somas e produtos de funções contínuas também são contínuas.
A expressão \bigl(x^{2}+3\bigr)(x-4) é produto de duas funções polinomiais ( x^{2}+3 e x-4), logo é contínua em todo ponto, em particular em x=\sqrt{2}. Portanto podemos calcular o limite apenas substituindo x=\sqrt{2}:
\lim_{x \rightarrow \sqrt{2}} \bigl(x^{2}+3\bigr)(x-4)=\bigl(\sqrt{2}^{\,2}+3\bigr)\bigl(\sqrt{2}-4\bigr).

Passo 3

Agora fazemos a substituição e simplificamos passo a passo.
Primeiro calcule \sqrt{2}^{\,2}:
\sqrt{2}^{\,2}=2.
Substituindo:
\bigl(\sqrt{2}^{\,2}+3\bigr)\bigl(\sqrt{2}-4\bigr)=(2+3)\bigl(\sqrt{2}-4\bigr).
Calcule 2+3:
2+3=5,
então
5\bigl(\sqrt{2}-4\bigr).

Passo 4

Podemos deixar o resultado na forma fatorada ou expandi-lo. Expandindo:
5\bigl(\sqrt{2}-4\bigr)=5\sqrt{2}-20.
Como a função é contínua no ponto, esse é o valor do limite.

Resposta

5\sqrt{2}-20

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