Determine o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-x^{3}+2}{2 x^{2}-3}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{-x^{3}+2}{2x^{2}-3}.
Informações dadas:
  • Numerador: -x^{3}+2.
  • Denominador: 2x^{2}-3.
  • Queremos o comportamento da expressão quando x cresce sem limite positivo ( x\to\infty).

Passo 2

Observação sobre polinômios e crescimento: para x muito grande, os termos de maior potência (maior expoente) dominam o comportamento de um polinômio. Isso significa que, ao estudar limites quando x\to\infty, podemos olhar os termos de maior grau do numerador e do denominador para entender como a fração se comporta. Um exemplo simples: \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+5}{3x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{3x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{3}=\infty, porque x^2 cresce mais rápido que x.

Passo 3

Método prático (dividir por potência de x): uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela mesma potência de x. Aqui é conveniente dividir por x^{2} (a maior potência que aparece no denominador), pois isso deixa o denominador com termo constante dominante. Dividindo ambos por x^{2} (válido para x\neq0; estamos olhando x grandes, então tudo bem):
\frac{-x^{3}+2}{2x^{2}-3} = \frac{\dfrac{-x^{3}+2}{x^{2}}}{\dfrac{2x^{2}-3}{x^{2}}} = \frac{-x+\dfrac{2}{x^{2}}}{2-\dfrac{3}{x^{2}}}.

Passo 4

Análise dos termos isolados quando x\to\infty:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(-x\right) = -\infty porque x cresce sem limite e o sinal menos inverte para negativo.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{x^{2}} = 0 porque x^{2} cresce muito e o quociente tende a zero.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{3}{x^{2}} = 0 pelo mesmo motivo.
Portanto, ao juntar:
  • o numerador -x+\dfrac{2}{x^{2}} tende a -\infty + 0 = -\infty,
  • o denominador 2-\dfrac{3}{x^{2}} tende a 2-0=2 (um número finito e positivo).

Passo 5

Conclusão sobre a razão: quando o numerador tende a -\infty e o denominador tende a uma constante finita não nula (aqui 2), a razão tende a crescer sem limite no sentido negativo — isto é, a fração diverge para menos infinito. Uma maneira alternativa e rápida de ver isso é aproximar pelos termos de maior grau:
\frac{-x^{3}+2}{2x^{2}-3}\sim\frac{-x^{3}}{2x^{2}}=-\frac{1}{2}x,
e -\tfrac{1}{2}x tende a -\infty quando x\to\infty. Ambas as abordagens dão o mesmo comportamento.

Resposta

-\infty

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