Determine o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Queremos o comportamento da expressão quando
cresce sem limite positivo ( ).
Passo 2
Observação sobre polinômios e crescimento: para
muito grande, os termos de maior potência (maior expoente) dominam o comportamento de um polinômio. Isso significa que, ao estudar limites quando
, podemos olhar os termos de maior grau do numerador e do denominador para entender como a fração se comporta. Um exemplo simples:
, porque
cresce mais rápido que
.
Passo 3
Método prático (dividir por potência de
): uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela mesma potência de
. Aqui é conveniente dividir por
(a maior potência que aparece no denominador), pois isso deixa o denominador com termo constante dominante. Dividindo ambos por
(válido para
; estamos olhando
grandes, então tudo bem):
Passo 4
Análise dos termos isolados quando
:
-
porque cresce sem limite e o sinal menos inverte para negativo. -
porque cresce muito e o quociente tende a zero. -
pelo mesmo motivo.
Portanto, ao juntar:
- o numerador
tende a , - o denominador
tende a (um número finito e positivo).
Passo 5
Conclusão sobre a razão: quando o numerador tende a
e o denominador tende a uma constante finita não nula (aqui
), a razão tende a crescer sem limite no sentido negativo — isto é, a fração diverge para menos infinito. Uma maneira alternativa e rápida de ver isso é aproximar pelos termos de maior grau:
e
tende a
quando
. Ambas as abordagens dão o mesmo comportamento.