Determine o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}-3}{4 x^{3}+5 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a infinito da expressão racional
\frac{2x^{2}-3}{4x^{3}+5x}.
Informações dadas: a função é uma fração cujo numerador é 2x^{2}-3 e cujo denominador é 4x^{3}+5x. A variável x vai para +\infty. A pergunta é: qual é o valor desse limite (existe ou não)?

Passo 2

Estratégia escolhida: para limites quando x\to\infty de frações racionais, uma técnica prática é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (a maior potência total presente), assim os termos ficam em potências negativas de x que tendem a zero. Aqui a maior potência presente é x^{3}, portanto vamos dividir tudo por x^{3}. Isso evita manipulações complicadas e permite ver quais termos desaparecem quando x cresce.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{3} obtemos
\frac{2x^{2}-3}{4x^{3}+5x} = \frac{\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{3}{x^{3}}}{\dfrac{4x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{5x}{x^{3}}} = \frac{\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^{3}}}{4+\dfrac{5}{x^{2}}}.
Aqui reescrevemos cada termo como uma potência de x no denominador (por exemplo \dfrac{2x^{2}}{x^{3}}=\dfrac{2}{x}).

Passo 4

Agora precisamos saber o comportamento quando x\to\infty dos termos do tipo \dfrac{1}{x^{n}} com n>0. Conceito útil: à medida que x cresce muito, x^{n} cresce muito e, portanto, \dfrac{1}{x^{n}} fica cada vez menor, tendendo a zero. Exemplos numéricos rápidos: \dfrac{1}{10}=0,1, \dfrac{1}{100}=0,01, \dfrac{1}{1000}=0,001 — quanto maior x, menor o valor. Em notação:
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{n}}=0\quad\text{para qualquer }n>0.

Passo 5

Aplicando esse fato aos termos da expressão obtida no Passo 3:
\lim_{x\to\infty}\frac{2/x-3/x^{3}}{4+5/x^{2}}
os termos com potências negativas tendem a zero:
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{3}{x^{3}}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{5}{x^{2}}=0.

Passo 6

Substituindo esses limites na fração, o numerador tende a 0-0=0 e o denominador tende a 4+0=4. Assim o limite da fração é
\frac{0}{4}=0.
Observação: o denominador tende a 4, que é diferente de zero, então a divisão é bem definida no limite.

Passo 7

Interpretação alternativa (atalho que vale memorizar para provas): quando se tem uma fração racional e o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador (aqui grau 2 no numerador e grau 3 no denominador), então o limite quando x\to\infty é 0. Isso confirma o resultado encontrado pela divisão por x^{3}.

Resposta

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