Determine o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a infinito da expressão racional
Informações dadas: a função é uma fração cujo numerador é
e cujo denominador é
. A variável
vai para
. A pergunta é: qual é o valor desse limite (existe ou não)?
Passo 2
Estratégia escolhida: para limites quando
de frações racionais, uma técnica prática é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador (a maior potência total presente), assim os termos ficam em potências negativas de
que tendem a zero. Aqui a maior potência presente é
, portanto vamos dividir tudo por
. Isso evita manipulações complicadas e permite ver quais termos desaparecem quando
cresce.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Aqui reescrevemos cada termo como uma potência de
no denominador (por exemplo
).
Passo 4
Agora precisamos saber o comportamento quando
dos termos do tipo
com
. Conceito útil: à medida que
cresce muito,
cresce muito e, portanto,
fica cada vez menor, tendendo a zero. Exemplos numéricos rápidos:
,
,
— quanto maior
, menor o valor. Em notação:
Passo 5
Aplicando esse fato aos termos da expressão obtida no Passo 3:
os termos com potências negativas tendem a zero:
Passo 6
Substituindo esses limites na fração, o numerador tende a
e o denominador tende a
. Assim o limite da fração é
Observação: o denominador tende a
, que é diferente de zero, então a divisão é bem definida no limite.
Passo 7
Interpretação alternativa (atalho que vale memorizar para provas): quando se tem uma fração racional e o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador (aqui grau
no numerador e grau
no denominador), então o limite quando
é
. Isso confirma o resultado encontrado pela divisão por
.