Seja f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n 5^{n}} x^{n}. Qual o domínio da função f ?
(a) D(f)=(-5,5]
(b) D(f)=[-5,5]
(c) D(f)=\left(-\frac{1}{5}, \frac{1}{5}\right]
(d) D(f)=\left(-\frac{1}{5}, \frac{1}{5}\right)
Passo 1
O enunciado define a função f por uma série de potências e pede o domínio D(f). Dados e o que é pedido:
A função é dada por f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}} x^{n}.
Precisamos determinar para quais valores de x essa série converge (esse conjunto é o domínio de f).
Vamos achar a região onde a série de potências converge usando o teste da razão (razão entre termos consecutivos). Primeiro identifico o termo geral da série como
então a série converge absolutamente quando L(x)<1, diverge quando L(x)>1, e o caso L(x)=1 é inconclusivo (precisa testar as extremidades). Calculemos L(x):
que é a série harmônica alternada (a famosa série de Leibniz). Para decidir convergência usamos o teste de Leibniz (teste da série alternada):
Teste de Leibniz (em palavras simples): se os termos b_n são positivos, decrescem para 0 (isto é, b_{n+1}\le b_n e \lim_{n\to\infty} b_n=0), então \sum (-1)^{n} b_n converge.
No nosso caso b_n=\tfrac{1}{n} são positivos, b_{n+1}<b_n e \lim_{n\to\infty} b_n=0. Logo a série converge (condicionalmente, não absolutamente). Portanto x=5 pertence ao domínio.
Mas \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} é a série harmônica que diverge (pelo teste da integral ou por agrupamento dos termos). Logo \sum -\frac{1}{n} também diverge. Portanto x=-5 não pertence ao domínio.
Passo 6
Concluindo: a série converge para todos os x com |x|<5 e também em x=5, mas não em x=-5. Então o intervalo de convergência (domínio) é