Seja f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n 5^{n}} x^{n}. Qual o domínio da função f ?
(a) D(f)=(-5,5]
(b) D(f)=[-5,5]
(c) D(f)=\left(-\frac{1}{5}, \frac{1}{5}\right]
(d) D(f)=\left(-\frac{1}{5}, \frac{1}{5}\right)

Passo 1

O enunciado define a função f por uma série de potências e pede o domínio D(f). Dados e o que é pedido:
  • A função é dada por f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}} x^{n}.
  • Precisamos determinar para quais valores de x essa série converge (esse conjunto é o domínio de f).
  • As alternativas dadas são:
    (a) D(f)=(-5,5]
    (b) D(f)=[-5,5]
    (c) D(f)=\left(-\frac{1}{5},\frac{1}{5}\right]
    (d) D(f)=\left(-\frac{1}{5},\frac{1}{5}\right).

Passo 2

Vamos achar a região onde a série de potências converge usando o teste da razão (razão entre termos consecutivos). Primeiro identifico o termo geral da série como
a_n(x)=\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}} x^{n}.
O teste da razão diz que, se existe o limite
L(x)=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right|,
então a série converge absolutamente quando L(x)<1, diverge quando L(x)>1, e o caso L(x)=1 é inconclusivo (precisa testar as extremidades). Calculemos L(x):

Passo 3

Calcule a razão:
\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| = \left|\frac{\frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)5^{n+1}} x^{n+1}}{\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}} x^{n}}\right| = \frac{n}{n+1}\cdot\frac{|x|}{5}.
Agora passe ao limite quando n\to\infty:
L(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\frac{|x|}{5}=\frac{|x|}{5}.
Portanto, pela razão, a série converge absolutamente se
\frac{|x|}{5}<1\quad\Longleftrightarrow\quad |x|<5.
Isto nos dá o intervalo de convergência absoluto (-5,5). Precisamos agora testar os pontos extremos x=5 e x=-5 separadamente.

Passo 4

Teste em x=5. Substituindo x=5 no termo geral:
a_n(5)=\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}} 5^{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}.
A série fica
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n},
que é a série harmônica alternada (a famosa série de Leibniz). Para decidir convergência usamos o teste de Leibniz (teste da série alternada):
Teste de Leibniz (em palavras simples): se os termos b_n são positivos, decrescem para 0 (isto é, b_{n+1}\le b_n e \lim_{n\to\infty} b_n=0), então \sum (-1)^{n} b_n converge.
No nosso caso b_n=\tfrac{1}{n} são positivos, b_{n+1}<b_n e \lim_{n\to\infty} b_n=0. Logo a série converge (condicionalmente, não absolutamente). Portanto x=5 pertence ao domínio.

Passo 5

Teste em x=-5. Substituindo x=-5 no termo geral:
a_n(-5)=\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}} (-5)^{n}=\frac{(-1)^{n+1}(-1)^n 5^{n}}{n\,5^{n}}=\frac{(-1)^{2n+1}}{n}=-\frac{1}{n}.
Assim a série é
\sum_{n=1}^\infty -\frac{1}{n} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}.
Mas \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} é a série harmônica que diverge (pelo teste da integral ou por agrupamento dos termos). Logo \sum -\frac{1}{n} também diverge. Portanto x=-5 não pertence ao domínio.

Passo 6

Concluindo: a série converge para todos os x com |x|<5 e também em x=5, mas não em x=-5. Então o intervalo de convergência (domínio) é
(-5,5].
Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) D(f)=(-5,5]

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