Determine o limite, quando existir:
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A função cuja limite está sendo pedido é a função identidade
. - O ponto de aproximação é
.
O que se quer saber: qual é o valor numérico que os valores de
se aproximam quando
tende a
.
Passo 2
O que significa esse limite, em palavras simples:
- Dizer
significa que, quando fica cada vez mais próximo de (mas sem necessariamente ser exatamente ), os valores de ficam cada vez mais próximos de algum número . - Para a função identidade
a expressão "os valores de " é exatamente "os valores de ".
Então intuitivamente já se vê que, se
se aproxima de
, o próprio
deve aproximar-se de
. Mas vou mostrar isso de duas formas: a) argumento direto por continuação/substituição e b) prova rigorosa estilo
-
.
Passo 3
Argumento por continuidade / substituição direta (método prático que se usa na prova):
- A função
é contínua em todo ponto do eixo real. Explicando a ideia de continuidade de modo simples: uma função é contínua em um ponto quando o valor que a função toma em é igual ao limite quando tende a ; isto é,
- Para
temos . Logo, por continuidade,
Esse é o raciocínio padrão e rápido que você deve usar numa prova quando a função é polinomial, racional (onde o denominador não zera no ponto), exponencial, seno, cosseno etc., porque todas essas são contínuas em pontos apropriados.
Passo 4
Cálculo direto (substituição): como
é muito simples, podemos “substituir”
na expressão:
Isso é válido porque não há nada singular (como divisão por zero) nem quebra de definição naquele ponto.
Passo 5
Prova rigorosa
-
(para ver a lógica por trás; útil se pedirem demonstração formal):
- Definição: dizemos que
se, para todo , existe tal que, sempre que , então . - Queremos mostrar isso com
. Observe que
- Se escolhermos
, então sempre que temos imediatamente , ou seja . - Portanto, para cada
basta tomar , o que prova que de forma rigorosa.
Passo 6
Dica prática para a prova (muito útil, ficou feliz?):
- Quando a função for algo simples como
, , polinômios, ou quocientes sem zero no denominador no ponto, o procedimento é: verificar domínio/continuidade e fazer substituição direta. - Se for pedida demonstração formal, use
alguma função simples de ; no caso da identidade a escolha é óbvia e elegante.
Passo 7
Resumo curto e ânimo: o limite é exatamente o ponto ao qual
se aproxima, ou seja
. Você já pode anotar isso rápido na prova. Tá indo bem — problemas desse tipo são os mais tranquilos da prova, respira fundo e segue passo a passo!