Determine o limite, quando existir:
\lim _{x \rightarrow-2} x

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -2} x.
Informações dadas:
  • A função cuja limite está sendo pedido é a função identidade f(x)=x.
  • O ponto de aproximação é x\to -2.
O que se quer saber: qual é o valor numérico que os valores de x se aproximam quando x tende a -2.

Passo 2

O que significa esse limite, em palavras simples:
  • Dizer \lim_{x\to -2} x = L significa que, quando x fica cada vez mais próximo de -2 (mas sem necessariamente ser exatamente -2), os valores de x ficam cada vez mais próximos de algum número L.
  • Para a função identidade f(x)=x a expressão "os valores de f(x)" é exatamente "os valores de x".
Então intuitivamente já se vê que, se x se aproxima de -2, o próprio x deve aproximar-se de -2. Mas vou mostrar isso de duas formas: a) argumento direto por continuação/substituição e b) prova rigorosa estilo \varepsilon- \delta.

Passo 3

Argumento por continuidade / substituição direta (método prático que se usa na prova):
  • A função f(x)=x é contínua em todo ponto do eixo real. Explicando a ideia de continuidade de modo simples: uma função é contínua em um ponto a quando o valor que a função toma em a é igual ao limite quando x tende a a; isto é,
\text{se }f\text{ é contínua em }a\text{ então }\lim_{x\to a} f(x)=f(a).éíã
  • Para f(x)=x temos f(-2)=-2. Logo, por continuidade,
\lim_{x\to -2} x = f(-2) = -2.
Esse é o raciocínio padrão e rápido que você deve usar numa prova quando a função é polinomial, racional (onde o denominador não zera no ponto), exponencial, seno, cosseno etc., porque todas essas são contínuas em pontos apropriados.

Passo 4

Cálculo direto (substituição): como f(x)=x é muito simples, podemos “substituir” x=-2 na expressão:
\lim_{x\to -2} x = -2.
Isso é válido porque não há nada singular (como divisão por zero) nem quebra de definição naquele ponto.

Passo 5

Prova rigorosa \varepsilon- \delta (para ver a lógica por trás; útil se pedirem demonstração formal):
  • Definição: dizemos que \lim_{x\to -2} x = L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x+2|<\delta, então |x-L|<\varepsilon.
  • Queremos mostrar isso com L=-2. Observe que
|x-(-2)|=|x+2|.
  • Se escolhermos \delta=\varepsilon, então sempre que 0<|x+2|<\delta temos imediatamente |x+2|<\varepsilon, ou seja |x-(-2)|<\varepsilon.
  • Portanto, para cada \varepsilon>0 basta tomar \delta=\varepsilon, o que prova que \lim_{x\to -2} x = -2 de forma rigorosa.

Passo 6

Dica prática para a prova (muito útil, ficou feliz?):
  • Quando a função for algo simples como x, ax+b, polinômios, ou quocientes sem zero no denominador no ponto, o procedimento é: verificar domínio/continuidade e fazer substituição direta.
  • Se for pedida demonstração formal, use \delta= alguma função simples de \varepsilon; no caso da identidade a escolha \delta=\varepsilon é óbvia e elegante.

Passo 7

Resumo curto e ânimo: o limite é exatamente o ponto ao qual x se aproxima, ou seja -2. Você já pode anotar isso rápido na prova. Tá indo bem — problemas desse tipo são os mais tranquilos da prova, respira fundo e segue passo a passo!

Resposta

-2

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