Questão 02: Em uma competição escolar de dardos, a distância atingida pelo dardo do competidor que ficou em 2^{\circ} lugar foi o dobro da distância atingida pelo dardo do competidor que ficou em último lugar. Já a distância do dardo do 1^{\circ} lugar foi o quadrado da distância atingida pelo dardo do competidor que ficou em último lugar. Nessa competição, foi verificada a distância em metros atingida por cada competidor e a soma das distâncias atingidas pelos dardos do 1^{\circ} e 2^{\circ} lugares é igual a 99 metros. Qual foi a distância, em metros, atingida pelo dardo do competidor que ficou em último lugar nessa competição?
a) 9
b) 11
c) 18
d) 63
e) 81

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado diz que a distância atingida pelo competidor que ficou em 2^{\circ} lugar foi o dobro da distância do competidor que ficou em último lugar.
  • O enunciado diz que a distância do competidor que ficou em 1^{\circ} lugar foi o quadrado da distância do competidor que ficou em último lugar.
  • O enunciado diz que a soma das distâncias dos 1^{\circ} e 2^{\circ} lugares é igual a 99 metros.
  • Pergunta: qual foi a distância, em metros, atingida pelo dardo do competidor que ficou em último lugar?

Passo 2

Vamos representar a distância do competidor que ficou em último lugar por uma variável. Escolho
x
para ser essa distância (em metros). Então, segundo o enunciado:
  • Distância do 2^{\circ} lugar é 2x.
  • Distância do 1^{\circ} lugar é x^2.
Aqui a ideia é traduzir palavras para expressões matemáticas simples: "dobro de x" vira 2x e "o quadrado de x" vira x^2.

Passo 3

Agora traduzimos a condição "a soma das distâncias do 1^{\circ} e 2^{\circ} lugares é 99" em uma equação:
x^2 + 2x = 99.
Essa é uma equação quadrática. Vamos colocá-la na forma padrão subtraindo 99 dos dois lados:
x^2 + 2x - 99 = 0.
Explicando rapidinho o que é isso: uma equação quadrática é da forma \,ax^2+bx+c=0, com a, b, c números. Aqui a=1, b=2, c=-99. Existem vários métodos para resolver — fatoração quando possível, completar o quadrado, ou fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Vou tentar a fatoração porque funciona bem quando os coeficientes são inteiros.
Para fatorar procuramos dois números cujo produto seja a\cdot c = 1\cdot(-99) = -99 e cuja soma seja b = 2. Os números 11 e -9 satisfazem isso porque
11\cdot(-9) = -99 \qquad\text{e}\qquad 11 + (-9) = 2.
Logo podemos fatorar a quadrática:
x^2 + 2x - 99 = (x+11)(x-9).

Passo 4

Se (x+11)(x-9)=0, então as soluções são obtidas anulando cada fator:
x+11 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -11,
x-9 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 9.
Como x representa uma distância em metros, deve ser um número não negativo. Portanto descartamos x=-11 (distância negativa não faz sentido aqui). Assim a solução viável é
x = 9.
Vamos checar rapidamente para ficar tranquilo: se x=9 metros, então 1^{\circ} lugar vale x^2=81 metros e 2^{\circ} vale 2x=18 metros; a soma é 81+18=99 metros, conforme o enunciado. Tudo bate certinho!

Passo 5

(Brevíssima observação alternativa) Se alguém preferir usar a fórmula quadrática (Bhaskara) para confirmar: com a=1, b=2, c=-99 a discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot1\cdot(-99) = 4 + 396 = 400,
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{-2 \pm 20}{2},
obtendo x=-11 ou x=9, e novamente cata-se x=9 como a única solução física (distância positiva).

Resposta

9 metros

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