Questão 02: Em uma competição escolar de dardos, a distância atingida pelo dardo do competidor que ficou em
lugar foi o dobro da distância atingida pelo dardo do competidor que ficou em último lugar. Já a distância do dardo do
lugar foi o quadrado da distância atingida pelo dardo do competidor que ficou em último lugar. Nessa competição, foi verificada a distância em metros atingida por cada competidor e a soma das distâncias atingidas pelos dardos do
e
lugares é igual a 99 metros. Qual foi a distância, em metros, atingida pelo dardo do competidor que ficou em último lugar nessa competição?
a) 9
b) 11
c) 18
d) 63
e) 81
a) 9
b) 11
c) 18
d) 63
e) 81
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado diz que a distância atingida pelo competidor que ficou em
lugar foi o dobro da distância do competidor que ficou em último lugar. - O enunciado diz que a distância do competidor que ficou em
lugar foi o quadrado da distância do competidor que ficou em último lugar. - O enunciado diz que a soma das distâncias dos
e lugares é igual a metros. - Pergunta: qual foi a distância, em metros, atingida pelo dardo do competidor que ficou em último lugar?
Passo 2
Vamos representar a distância do competidor que ficou em último lugar por uma variável. Escolho
para ser essa distância (em metros). Então, segundo o enunciado:
- Distância do
lugar é . - Distância do
lugar é .
Aqui a ideia é traduzir palavras para expressões matemáticas simples: "dobro de
" vira
e "o quadrado de
" vira
.
Passo 3
Agora traduzimos a condição "a soma das distâncias do
e
lugares é
" em uma equação:
Essa é uma equação quadrática. Vamos colocá-la na forma padrão subtraindo
dos dois lados:
Explicando rapidinho o que é isso: uma equação quadrática é da forma
, com
,
,
números. Aqui
,
,
. Existem vários métodos para resolver — fatoração quando possível, completar o quadrado, ou fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Vou tentar a fatoração porque funciona bem quando os coeficientes são inteiros.
Para fatorar procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Os números
e
satisfazem isso porque
Logo podemos fatorar a quadrática:
Passo 4
Se
, então as soluções são obtidas anulando cada fator:
Como
representa uma distância em metros, deve ser um número não negativo. Portanto descartamos
(distância negativa não faz sentido aqui). Assim a solução viável é
Vamos checar rapidamente para ficar tranquilo: se
metros, então
lugar vale
metros e
vale
metros; a soma é
metros, conforme o enunciado. Tudo bate certinho!
Passo 5
(Brevíssima observação alternativa) Se alguém preferir usar a fórmula quadrática (Bhaskara) para confirmar: com
,
,
a discriminante é
obtendo
ou
, e novamente cata-se
como a única solução física (distância positiva).