Responda com sim ou não às seguintes perguntas, justificando sua resposta.
Toda função derivável é contínua?
Toda função derivável é contínua?
Passo 1
O que a pergunta pede: responder se “toda função derivável é contínua”. Ou seja, dado
(uma função de variável real,
), sempre que
for derivável (em um ponto ou em todo o seu domínio), devemos concluir que
é contínua (no ponto ou no domínio)?
Informações relevantes que temos/assumimos:
Informações relevantes que temos/assumimos:
- “Derivável” será entendido no sentido usual: existência do limite do quociente incremental finito. Em particular, para um ponto
do domínio, é derivável em significa que o limite
existe e é um número real finito.
- “Contínua” em
significa que
A pergunta busca uma resposta direta (“sim” ou “não”) acompanhada de justificativa.
Passo 2
Definições e ideias-chave (explicadas devagar, sem pular etapas):
- Derivada em
: dizemos que é derivável em se o seguinte limite existir como número real:
Aqui
é o número que representa a inclinação da reta tangente a
em
, e a expressão
é o quociente incremental que mede a variação média de
entre
e
.
- Continuidade em
: dizemos que é contínua em se
ou seja, os valores de
quando
se aproxima de
ficam arbitrariamente próximos de
.
Observação intuitiva: derivabilidade exige um limite mais forte (o limite do quociente) existir; continuidade exige apenas que os valores da função se aproximem do valor no ponto. Então é plausível que derivabilidade implique continuidade — vamos provar isso rigidamente.
Passo 3
Prova direta de que derivabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto (passo a passo):
Suponha que é derivável em
. Então, por definição, existe o número real
Suponha que
Queremos mostrar que
.
Considere, para
, a identidade algébrica
Explicando cada parte:
- O fator
é o quociente incremental que tende a quando . - O fator
tende a quando .
Agora tomamos limite quando
do lado direito. Usamos a propriedade do limite do produto: se
e
existem e são finitos, então
Aplicando com
(que tende a
) e
(que tende a
), obtemos
Portanto
, o que implica
Isto é exatamente a definição de continuidade em
. Logo
é contínua em
.
Comentário técnico: a prova usa que o limite do quociente é finito; se esse limite fosse infinito (não é o caso quando dizemos “derivável”), não poderíamos concluir continuidade. Mas pela definição, derivável exige limite finito, então não há exceção.
Passo 4
Observação sobre o enunciado em nível global e contraexemplos do sentido contrário:
- Da prova acima segue que se
é derivável em todo um intervalo (ou em todo o domínio), então é contínua nesse intervalo (ou domínio). Em palavras mais simples: derivável ⇒ contínua (sempre). - O inverso NÃO é verdadeiro: há funções contínuas que não são deriváveis. Um exemplo clássico é
em . Explicando: - Para
, tem derivada (que é para e para ). - O limite do quociente incremental em
pela direita é e pela esquerda é , esses limites laterais são diferentes, então não existe. Apesar disso, é contínua em porque . - Assim
é contínua em mas não derivável em , mostrando que continuidade não implica derivabilidade.
- Para
Passo 5
Resumo final e incentivo: portanto a resposta é “sim”: sempre que uma função é derivável em um ponto (ou em todo o domínio), ela é também contínua nesse ponto (ou nesse domínio). Isso é uma ferramenta útil na prova: quando alguém diz “f é derivável”, já pode assumir continuidade; porém quando a função é apenas contínua não se pode concluir derivabilidade — cuidado na prova da prova, combinando essa ideia com outros teoremas.
Resposta
Sim