Responda com sim ou não às seguintes perguntas, justificando sua resposta.
Toda função derivável é contínua?

Passo 1

O que a pergunta pede: responder se “toda função derivável é contínua”. Ou seja, dado f (uma função de variável real, f:\mathbb{R}\supset D\to\mathbb{R}), sempre que f for derivável (em um ponto ou em todo o seu domínio), devemos concluir que f é contínua (no ponto ou no domínio)?
Informações relevantes que temos/assumimos:
  • “Derivável” será entendido no sentido usual: existência do limite do quociente incremental finito. Em particular, para um ponto a do domínio, f é derivável em a significa que o limite
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
existe e é um número real finito.
  • “Contínua” em a significa que
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
A pergunta busca uma resposta direta (“sim” ou “não”) acompanhada de justificativa.

Passo 2

Definições e ideias-chave (explicadas devagar, sem pular etapas):
  • Derivada em a: dizemos que f é derivável em a se o seguinte limite existir como número real:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Aqui f'(a) é o número que representa a inclinação da reta tangente a f em a, e a expressão \frac{f(x)-f(a)}{x-a} é o quociente incremental que mede a variação média de f entre x e a.
  • Continuidade em a: dizemos que f é contínua em a se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a),
ou seja, os valores de f(x) quando x se aproxima de a ficam arbitrariamente próximos de f(a).
Observação intuitiva: derivabilidade exige um limite mais forte (o limite do quociente) existir; continuidade exige apenas que os valores da função se aproximem do valor no ponto. Então é plausível que derivabilidade implique continuidade — vamos provar isso rigidamente.

Passo 3

Prova direta de que derivabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto (passo a passo):
Suponha que f é derivável em a. Então, por definição, existe o número real
L:=f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Queremos mostrar que \lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Considere, para x\neq a, a identidade algébrica
f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a).
Explicando cada parte:
  • O fator \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} é o quociente incremental que tende a L quando x\to a.
  • O fator (x-a) tende a 0 quando x\to a.
Agora tomamos limite quando x\to a do lado direito. Usamos a propriedade do limite do produto: se \lim_{x\to a}g(x)=G e \lim_{x\to a}h(x)=H existem e são finitos, então
\lim_{x\to a} g(x)h(x)=GH.
Aplicando com g(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} (que tende a L) e h(x)=x-a (que tende a 0), obtemos
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)-f(a)\bigr)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)=L\cdot 0=0.
Portanto \lim_{x\to a}f(x)-f(a)=0, o que implica
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Isto é exatamente a definição de continuidade em a. Logo f é contínua em a.
Comentário técnico: a prova usa que o limite do quociente é finito; se esse limite fosse infinito (não é o caso quando dizemos “derivável”), não poderíamos concluir continuidade. Mas pela definição, derivável exige limite finito, então não há exceção.

Passo 4

Observação sobre o enunciado em nível global e contraexemplos do sentido contrário:
  • Da prova acima segue que se f é derivável em todo um intervalo (ou em todo o domínio), então f é contínua nesse intervalo (ou domínio). Em palavras mais simples: derivável ⇒ contínua (sempre).
  • O inverso NÃO é verdadeiro: há funções contínuas que não são deriváveis. Um exemplo clássico é f(x)=|x| em x=0. Explicando:
    • Para x\neq 0, f(x)=|x| tem derivada f'(x)=\dfrac{x}{|x|} (que é 1 para x>0 e -1 para x<0).
    • O limite do quociente incremental em 0 pela direita é 1 e pela esquerda é -1, esses limites laterais são diferentes, então f'(0) não existe. Apesar disso, f é contínua em 0 porque \lim_{x\to 0}|x|=0=f(0).
    • Assim f é contínua em 0 mas não derivável em 0, mostrando que continuidade não implica derivabilidade.

Passo 5

Resumo final e incentivo: portanto a resposta é “sim”: sempre que uma função é derivável em um ponto (ou em todo o domínio), ela é também contínua nesse ponto (ou nesse domínio). Isso é uma ferramenta útil na prova: quando alguém diz “f é derivável”, já pode assumir continuidade; porém quando a função é apenas contínua não se pode concluir derivabilidade — cuidado na prova da prova, combinando essa ideia com outros teoremas.

Resposta

Sim

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