Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o limite da função $ \frac{xy}{x{2}+y{2}} + \cos(xy) $ quando xyx^2+y^2 + cos(xy) se aproxima de (x, y). Isso está ligado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, um tópico de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos e entender o comportamento de cada parte da função.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão $ \frac{xy}{x{2}+y{2}} $. Essa parte da função pode ser um pouco complicada porque depende de como nos aproximamos de xyx^2+y^2 . Em funções de duas variáveis, o limite pode depender do caminho que escolhemos para chegar ao ponto de interesse. Então, vamos testar alguns caminhos diferentes para ver se o limite muda.

Passo 3

Vamos considerar o caminho onde $ y = x $. Substituindo $ y $ por $ x $ na expressão, temos:
y = x
Então, ao seguir o caminho $ y = x $, a primeira parte da função se aproxima de $ \frac{1}{2} $.

Passo 4

Agora, vamos considerar o caminho onde $ y = 0 $. Substituindo $ y $ por $ 0 $ na expressão, temos:
y = 0
Então, ao seguir o caminho $ y = 0 $, a primeira parte da função se aproxima de $ 0 $.

Passo 5

Vimos que ao seguir diferentes caminhos, a expressão $ \frac{xy}{x{2}+y{2}} $ se aproxima de valores diferentes ($ \frac{1}{2} $ e $ 0 $). Isso significa que essa parte do limite já está inconsistente dependendo do caminho escolhido.

Passo 6

Agora, vamos analisar a segunda parte da função: $ \cos(xy) $. Quando cos(xy) se aproxima de (x, y), o produto $ xy $ também se aproxima de $ 0 $. E sabemos que $ \cos(0) = 1 $, então essa parte da função sempre se aproxima de $ 1 $, independentemente do caminho que escolhemos.

Passo 7

Agora, vamos juntar as duas partes. A função completa é:
xyx^2+y^2 + cos(xy)
Dependendo do caminho, a primeira parte pode ser $ \frac{1}{2} $ ou $ 0 $, e a segunda parte sempre é $ 1 $. Então, seguindo o caminho $ y = x $, o limite seria:
12
E seguindo o caminho $ y = 0 $, o limite seria:
0

Resposta

Como obtemos resultados diferentes ($ \frac{3}{2} $ e $ 1 $) seguindo caminhos diferentes, concluímos que o limite não existe.

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