Calcule as seguintes integrais:
integral-1^2 d x9+(x+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de -1 até 2 da função 19 + (x+1)^2 , dx. Isso envolve cálculo integral, mais especificamente integrais que têm uma expressão quadrática no denominador. Precisamos usar umas técnicas que envolvem a função arctangente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da integral. Ela está na forma integral dxa^2 + (x + b)^2, onde a e b são constantes. Sabemos que integrais assim têm uma antiderivada que envolve a função arctan.

Passo 3

Lembrando da fórmula, temos:
integral dxa^2 + u^2 = 1a arctan(ua) + C
Aqui, u = x + 1 e a^2 = 9, então a = 3.

Passo 4

Aplicando a fórmula à nossa integral, fica:
integral dx9 + (x + 1)^2 = 13 arctan(x + 13) + C

Passo 5

Como a gente tem uma integral definida de -1 até 2, vamos substituir os limites na antiderivada:
[ 13 arctan(x + 13) ]-1^2 = 13 ( arctan(2 + 13) - arctan(-1 + 13) )

Passo 6

Simplificando os argumentos da arctan:
13 ( arctan(1) - arctan(0) )
Sabemos que arctan(1) = pi4 e arctan(0) = 0.

Passo 7

Substituindo esses valores:
13 ( pi4 - 0 ) = pi12

Resposta

O valor da integral é dfracpi12.

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