Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de -1 até 2 da função
. Isso envolve cálculo integral, mais especificamente integrais que têm uma expressão quadrática no denominador. Precisamos usar umas técnicas que envolvem a função arctangente para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da integral. Ela está na forma
, onde
e
são constantes. Sabemos que integrais assim têm uma antiderivada que envolve a função arctan.
Passo 3
Lembrando da fórmula, temos:
Aqui,
e
, então
.
Passo 4
Aplicando a fórmula à nossa integral, fica:
Passo 5
Como a gente tem uma integral definida de -1 até 2, vamos substituir os limites na antiderivada:
Passo 6
Simplificando os argumentos da arctan:
Sabemos que
e
.
Passo 7
Substituindo esses valores:
Resposta
O valor da integral é
.