Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Então, a gente tem que determinar o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. A função é:
Vamos usar conhecimentos de limites em funções de várias variáveis, especialmente analisando diferentes caminhos para ver se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Podemos escrever:
Isso ajuda a visualizar melhor o comportamento da função perto de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam
a
. Se obtivermos resultados diferentes, isso significa que o limite não existe.
Um caminho comum é
, onde
é uma constante.
Substituindo
na expressão:
Simplificando:
Passo 4
O resultado depende do valor de
, o que significa que diferentes caminhos (valores de
) levarão a diferentes valores para o limite.
Por exemplo:
- Se
:
- Se
:
Passo 5
Como obtivemos
para
e
para
, que são valores diferentes, concluímos que o limite depende do caminho escolhido.
Resposta
O limite não existe porque depende do caminho seguido para
.