Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

Então, a gente tem que determinar o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). A função é:
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2 - 12
Vamos usar conhecimentos de limites em funções de várias variáveis, especialmente analisando diferentes caminhos para ver se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Podemos escrever:
x yx^2+y^2 - 12 = 2xy - (x^2 + y^2)2(x^2 + y^2)
Isso ajuda a visualizar melhor o comportamento da função perto de (0,0).

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam (x, y) a (0,0). Se obtivermos resultados diferentes, isso significa que o limite não existe.
Um caminho comum é y = kx, onde k é uma constante.
Substituindo y = kx na expressão:
2x(kx) - (x^2 + (k x)^2)2(x^2 + (k x)^2) = 2k x^2 - x^2 - k^2 x^22(x^2 + k^2 x^2) = (2k - 1 - k^2)x^22x^2(1 + k^2)
Simplificando:
2k - 1 - k^22(1 + k^2)

Passo 4

O resultado depende do valor de k, o que significa que diferentes caminhos (valores de k) levarão a diferentes valores para o limite.
Por exemplo:
  • Se k = 1:
2(1) - 1 - (1)^22(1 + 1^2) = 2 - 1 - 14 = 04 = 0
  • Se k = 0:
2(0) - 1 - (0)^22(1 + 0^2) = 0 - 1 - 02 = -12 = -12

Passo 5

Como obtivemos 04 = 0 para k = 1 e -12 para k = 0, que são valores diferentes, concluímos que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe porque depende do caminho seguido para (0,0).

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