Se a é um vetor constante, r=x i+y j+z k e S é uma superfície orientada suave com uma curva fronteira C fechada simples, suave e positivamente orientada, mostre que
integral duplaS 2 a cdot d S=integralC(a times r) cdot d r

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para um vetor constante a, o vetor posição r=xi+yj+zk e uma superfície orientada suave S com bordo fechado C, vale
integral duplaS2acdot dS=ointC(atimesr)cdot dr
O conteúdo principal envolve o Teorema de Stokes e o cálculo de rotacional de um produto vetorial.

Passo 2

Para conectar integral de superfície à integral de linha, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz:
ointCFcdot dr=integral duplaS(nablatimesF)cdot dS
Aqui precisamos escolher um campo vetor F cuja integral de linha seja (atimesr)cdot dr.

Passo 3

Definimos o campo vetor
F(x,y,z)=atimesr=atimes(xi+yj+zk)
Com isso, a integral de linha no Teorema de Stokes será exatamente
ointC(atimesr)cdot dr

Passo 4

Agora calculamos o rotacional de F. Usando a identidade vetorial
nablatimes(atimesr)=a(nablacdotr)-r(nablacdota)+(rcdotnabla)a-(acdotnabla)r,
e sabendo que nablacdotr=3, nablacdota=0, (rcdotnabla)a=0 e (acdotnabla)r=a, obtemos
nablatimes(atimesr)=3a-a=2a

Passo 5

Aplicando o Teorema de Stokes em F=atimesr, temos
ointC(atimesr)cdot dr=integral duplaS(nablatimes(atimesr))cdot dS=integral duplaS2acdot dS
Isso é exatamente o que queríamos mostrar.

Resposta

Pela aplicação do Teorema de Stokes com F=atimesr e usando nablatimes(atimesr)=2a, conclude-se que
integral duplaS2acdot dS=ointC(atimesr)cdot dr

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