Se a é um vetor constante,
e
é uma superfície orientada suave com uma curva fronteira
fechada simples, suave e positivamente orientada, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que para um vetor constante
, o vetor posição
e uma superfície orientada suave
com bordo fechado
, vale
O conteúdo principal envolve o Teorema de Stokes e o cálculo de rotacional de um produto vetorial.
Passo 2
Para conectar integral de superfície à integral de linha, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz:
Aqui precisamos escolher um campo vetor
cuja integral de linha seja
.
Passo 3
Definimos o campo vetor
Com isso, a integral de linha no Teorema de Stokes será exatamente
Passo 4
Agora calculamos o rotacional de
. Usando a identidade vetorial
e sabendo que
,
,
e
, obtemos
Passo 5
Aplicando o Teorema de Stokes em
, temos
Isso é exatamente o que queríamos mostrar.
Resposta
Pela aplicação do Teorema de Stokes com
e usando
, conclude-se que