Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) 1000 x yraizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=x,yraizx^2+y^2
quando (x,y)to(0,0).
Conteúdo: limites em duas variáveis e Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Vamos usar uma desigualdade que relacione |x,y| com x^2+y^2.

Passo 2

Observe que, para quaisquer reais x e y, vale a desigualdade de AM–GM no caso quadrático:
2,|x,y|<= x^2+y^2
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|x,y|<=x^2+y^22

Passo 3

Da expressão de f(x,y) temos
gl|x,yraizx^2+y^2gr| =|x,y|raizx^2+y^2
e por passo anterior
|x,y|raizx^2+y^2 <=(x^2+y^2)/2raizx^2+y^2 =12,raizx^2+y^2

Passo 4

Como raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), o término do lado direito tende a
12,raizx^2+y^2;longrightarrow;0
Pelo Teorema do Confronto, segue que
x,yraizx^2+y^2;longrightarrow;0

Resposta

lim(x,y)to(0,0)x,yraizx^2+y^2=0

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