(1) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
lim(x,y)to(2,0)(x-2),y^2(x-2)^2+y^2
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para mostrar que esse limite existe e é zero.

Passo 2

Primeiro, observe um caminho simples: se aproximarmos por x=2, então
(x-2),y^2(x-2)^2+y^2 =0cdot y^20+y^2=0
Isso sugere que o limite pode ser zero, mas precisamos garantir que todo caminho leve ao mesmo valor.

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Confronto, note que
|(x-2),y^2(x-2)^2+y^2| =|x-2|;y^2(x-2)^2+y^2 <= |x-2|;y^2y^2 =|x-2|
Aqui usamos que (x-2)^2+y^2>= y^2, logo tfracy^2(x-2)^2+y^2<=1.

Passo 4

Como (x,y)to(2,0), temos |x-2|to0. Pelo Teorema do Confronto,
|(x-2),y^2(x-2)^2+y^2|to0 Longrightarrow (x-2),y^2(x-2)^2+y^2to0

Resposta

0

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