Encontre expressões explícitas (como no exercício anterior) para as funções multivalentes a seguir:
f(z)=arccotg z

Passo 1

O enunciado pede a forma explícita, mostrando a multivalência, da função inversa da cotangente complexa, ou seja de arccotgz. Vamos usar a definição
cot(w)=cos(w)sin(w)
e resolver a equação cot(w)=z para w, lembrando que a exponencial complexa e o logaritmo são multivalorados.

Passo 2

Escrevendo cot(w) em termos de exponenciais, temos
cot(w) =e^iw+e^-iwi,(e^iw-e^-iw) =i,e^2iw+1e^2iw-1
Portanto a equação cot(w)=z fica
i,e^2iw+1e^2iw-1=z,

Passo 3

Multiplicando em cruz e rearranjando termos:
i,(e^2iw+1)=z,(e^2iw-1) Longrightarrow e^2iw,(i-z)=-(i+z) Longrightarrow e^2iw=z+i,z-i,,

Passo 4

Tomando o logaritmo complexo multivalorado de ambos os lados,
2i,w =ln!gl(z+iz-igr)+2pi i k, kin Z
Dividindo por 2i obtemos
w =12i,ln!gl(z+iz-igr)+kpi, kin Z

Resposta

boxed arccotgz =12i,ln!l(z+iz-ir)+kpi, kin Z

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