Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0)sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2.
Esse é um limite de função de duas variáveis. Para resolvê-lo, vamos usar coordenadas polares e o fato de que, em cálculo de uma variável, sin t/tto1 quando tto0.

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com r>=0. Então
x^2+y^2 = r^2
e a expressão original fica
f(r,theta) = sinl(r^2r)r^2

Passo 3

Como (x,y)to(0,0) equivale a rto0, analisamos
limrto0sinl(r^2r)r^2
Fazendo a mudança de variável t = r^2, temos tto0 quando rto0, e reconhecemos o limite conhecido
limtto0sin tt=1

Resposta

O limite existe e vale 1.

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