1 (1 ponto) Enuncie o teorema de Green em detalhes e utilize-o para mostrar que a área delimitada pela elipse é .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro enunciar em detalhes o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que ela envolve; depois usar esse teorema para calcular a área da região interna à elipse
Vamos precisar de cálculo de integrais de linha, noções de parametrização de curvas fechadas e da forma particular do Teorema de Green que dá a área de .
Passo 2
O Teorema de Green diz o seguinte. Suponha que é uma região simples, limitada por uma curva fechada orientada positivamente (sentido anti-horário), e que e têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de . Então
ointCP,dx + Q,dy = integral duplaD!gl(partial Qpartial x-partial Ppartial ygr),dA
Em particular, se escolhermos P e Q tais que
partial Qpartial x-partial Ppartial y=1,
então a integral de linha torna-se exatamente a área de D.
Passo 3
Para obter a área de D pela borda C, tomamos
P(x,y)=-y2, Q(x,y)=x2
Verificamos
partial Qpartial x =12, partial Ppartial y =-12, partial Qpartial x-partial Ppartial y =1
Logo, pelo Teorema de Green,
Área(D) =integral duplaD1,dA =ointC!P,dx+Q,dy =12ointC(-y,dx + x,dy) Á