1 (1 ponto) Enuncie o teorema de Green em detalhes e utilize-o para mostrar que a área delimitada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1 é a b pi.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro enunciar em detalhes o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D que ela envolve; depois usar esse teorema para calcular a área da região interna à elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
Vamos precisar de cálculo de integrais de linha, noções de parametrização de curvas fechadas e da forma particular do Teorema de Green que dá a área de D.

Passo 2

O Teorema de Green diz o seguinte. Suponha que DsubsetR^2 é uma região simples, limitada por uma curva fechada C orientada positivamente (sentido anti-horário), e que P(x,y) e Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D. Então
ointCP,dx + Q,dy = integral duplaD!gl(partial Qpartial x-partial Ppartial ygr),dA
Em particular, se escolhermos P e Q tais que
partial Qpartial x-partial Ppartial y=1,
então a integral de linha torna-se exatamente a área de D.

Passo 3

Para obter a área de D pela borda C, tomamos
P(x,y)=-y2, Q(x,y)=x2
Verificamos
partial Qpartial x =12, partial Ppartial y =-12, partial Qpartial x-partial Ppartial y =1
Logo, pelo Teorema de Green,
Área(D) =integral duplaD1,dA =ointC!P,dx+Q,dy =12ointC(-y,dx + x,dy) Á

Passo 4

Agora parametrizamos a elipse
x=acos t, y=bsin t, tin[0,2pi],
de modo que
dx=-asin t,dt, dy=bcos t,dt
Substituímos em
12ointC(-y,dx + x,dy) =12integral0^2pil[-y(t),x'(t)+x(t),y'(t)r],dt

Passo 5

Calculando o integrando:
-y,dx =-l(bsin tr)l(-asin t,dtr) =ab,sin^2 t,dt,
x,dy =l(acos tr)l(bcos t,dtr) =ab,cos^2 t,dt
Somando e multiplicando por tfrac12:
12l(ab,sin^2 t + ab,cos^2 tr),dt =ab2,dt
Integrando de 0 a 2pi:
Área(D) =integral0^2piab2,dt =ab2cdot2pi =abpi Á

Resposta

A área delimitada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1 é
abpi

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