Exercício 2) Desenhe as regiões planas D, dadas abaixo, realçando no desenho sua fronteira.
D: x^2 <= y, 0 <= y <= x.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região
D = (x,y)mid x^2<= y,;0<= y<= x
no plano xy, destacando sua fronteira. Aqui usamos gráficos de curvas para entender a forma de D.

Passo 2

Identificamos as duas curvas que limitam D: a parábola
y = x^2
e a reta
y = x,
além da restrição y>=0.

Passo 3

Para encontrar onde a parábola e a reta se cruzam, igualamos
x^2 = x
que dá
x(x-1)=0Longrightarrow x=0 ou x=1
Os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 4

A condição x^2<= y<= x só faz sentido quando x^2<= x, ou seja
xin[0,1]
Além disso, como x^2>=0, a restrição y>=0 já está garantida por y>= x^2.

Passo 5

Para cada xin[0,1], y varia de y=x^2 (parte inferior da região) até y=x (parte superior). Logo D é o conjunto dos pontos entre a parábola e a reta, do eixo x em x=0 até x=1.

Passo 6

A fronteira de D é composta por:
  1. O arco da parábola y=x^2 de (0,0) a (1,1).
  2. O segmento da reta y=x de (0,0) a (1,1).
No esboço, sombreie a região entre essas duas curvas.

Resposta

A região D é o “folha” no primeiro quadrante limitada abaixo pela parábola y=x^2 e acima pela reta y=x, entre os pontos (0,0) e (1,1). A fronteira consiste exatamente nesses dois arcos que se encontram em (0,0) e (1,1).

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