Determine o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções: f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}}, & \text { se } \quad(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se } \quad(x, y)=(0,0)\end{aligned}\right.
e pede o conjunto de pontos onde f é contínua. Vamos usar a teoria de funções racionais e critérios de limite em várias variáveis para concluir onde f é contínua.]
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0) a expressão \frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} é quociente de polinômios e o denominador 2x^{2}+y^{2} é positivo (logo não nulo). Logo f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0) por serem operações algébricas de polinômios e divisão por função sem zeros.
Passo 3
Resta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos mostrar que