Determine o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}}, & \text { se } \quad(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se } \quad(x, y)=(0,0)\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o conjunto de pontos onde f é contínua. Vamos usar a teoria de funções racionais e critérios de limite em várias variáveis para concluir onde f é contínua.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) a expressão \frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} é quociente de polinômios e o denominador 2x^{2}+y^{2} é positivo (logo não nulo). Logo f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0) por serem operações algébricas de polinômios e divisão por função sem zeros.

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}=0,
pois f(0,0)=0.

Passo 4

Usamos desigualdades. Para (x,y)\neq(0,0), note que
2x^{2}+y^{2}\;\ge\;y^{2},
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\left|\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}\right| \le\frac{|x|^{2}\,|y|^{3}}{y^{2}} =|x|^{2}\,|y| \le (|x|^{2}+|y|^{2})^{3/2} =\bigl\|(x,y)\bigr\|^{3}.
Como \|(x,y)\|\to0 implica \|(x,y)\|^{3}\to0, temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}=0.
Portanto f é contínua em (0,0).

Resposta

O conjunto de pontos de continuidade de f é todo \mathbb{R}^{2}.

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