Nos Exercs. 1 a 5, obtenha os desenvolvimentos em séries de potências, conforme especificação em cada caso. Determine os respectivos discos de convergência e represente-os graficamente. em potências de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expandir a função em uma série de potências em torno de . Também vamos determinar o disco de convergência dessa série e representar graficamente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de potências e da expansão em série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a função de uma maneira que fique centrada em . Isso significa que queremos expressar em termos de .
Vamos começar substituindo por :
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:
Passo 3
Para facilitar a expansão em série, vamos fatorar o denominador de forma a ter algo parecido com , que é a forma básica da série geométrica.
Vamos reescrever:
Fatorando :
Então temos:
Passo 4
Agora, reconhecemos que podemos expandir a parte como uma série geométrica, desde que o valor absoluto da razão seja menor que 1. Ou seja, para que a série convirja, precisamos que:
Vamos calcular a magnitude do denominador | z + i | < raiz132 :
Então, a condição de convergência é:
Passo 5
Agora, aplicando a expansão da série geométrica f(z) = -13 + 2i sumn=0^infty ( 2(z + i)3 + 2i )^n com , temos:
Podemos simplificar um pouco mais, deixando a série pronta para uso.
Passo 6
Então, a série de potências de f(z) = -13 + 2i [ 1 + 2(z + i)3 + 2i + ( 2(z + i)3 + 2i )^2 + ( 2(z + i)3 + 2i )^3 + cdots ] em torno de fica:
Passo 7
Resumindo, a expansão em série de potências é:
f(z) = -13 + 2i sumn=0^infty ( 2(z + i)3 + 2i )^n
E o disco de convergência é:
| z + i | < raiz132
Resposta
A expansão em série de potências de f(z) = -13 + 2i sumn=0^infty ( 2(z + i)3 + 2i )^n em torno de | z + i | < raiz132 é: