Nos Exercs. 1 a 5, obtenha os desenvolvimentos em séries de potências, conforme especificação em cada caso. Determine os respectivos discos de convergência e represente-os graficamente.
f(z)=1 /(2 z-3) em potências de z+i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expandir a função em uma série de potências em torno de . Também vamos determinar o disco de convergência dessa série e representar graficamente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de potências e da expansão em série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a função f(z) = 12(z) - 3 = 12((z + i) - i) - 3 = 12(z + i) - 2i - 3 de uma maneira que fique centrada em 2(z + i) - 2i - 3 = 2(z + i) - 3 - 2i = 2(z + i) - (3 + 2i) . Isso significa que queremos expressar f(z) = 12(z + i) - (3 + 2i) em termos de .
Vamos começar substituindo por :
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:

Passo 3

Para facilitar a expansão em série, vamos fatorar o denominador de forma a ter algo parecido com f(z) = 12(z + i) - (3 + 2i) = 1- (3 + 2i) + 2(z + i) , que é a forma básica da série geométrica.
Vamos reescrever:
f(z) = 1- (3 + 2i) (1 - 2(z + i)3 + 2i)
Fatorando f(z) = -13 + 2i cdot 11 - 2(z + i)3 + 2i :
Então temos:

Passo 4

Agora, reconhecemos que podemos expandir a parte | 2(z + i)3 + 2i | < 1 como uma série geométrica, desde que o valor absoluto da razão seja menor que 1. Ou seja, para que a série convirja, precisamos que:
|3 + 2i| = raiz3^2 + 2^2 = raiz9 + 4 = raiz13
Vamos calcular a magnitude do denominador | z + i | < raiz132 :
Então, a condição de convergência é:

Passo 5

Agora, aplicando a expansão da série geométrica f(z) = -13 + 2i sumn=0^infty ( 2(z + i)3 + 2i )^n com , temos:
Podemos simplificar um pouco mais, deixando a série pronta para uso.

Passo 6

Então, a série de potências de f(z) = -13 + 2i [ 1 + 2(z + i)3 + 2i + ( 2(z + i)3 + 2i )^2 + ( 2(z + i)3 + 2i )^3 + cdots ] em torno de fica:

Passo 7

Resumindo, a expansão em série de potências é:
f(z) = -13 + 2i sumn=0^infty ( 2(z + i)3 + 2i )^n
E o disco de convergência é:
| z + i | < raiz132

Resposta

A expansão em série de potências de f(z) = -13 + 2i sumn=0^infty ( 2(z + i)3 + 2i )^n em torno de | z + i | < raiz132 é:
O disco de convergência dessa série é:

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