Nos Exercs. 1 a 5, obtenha os desenvolvimentos em séries de potências, conforme especificação em cada caso. Determine os respectivos discos de convergência e represente-os graficamente. em potências de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expandir a função em uma série de potências em torno de . A matéria que estamos trabalhando aqui é a expansão em séries de potências, e para isso, vamos precisar usar a série geométrica. Basicamente, vamos reescrever a função de forma que ela se encaixe na fórmula da série geométrica para facilitar a expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função em termos de . Assim, temos:
Aqui, substituímos por porque queremos expandir em potências de , que é nosso .
Passo 3
Agora, para facilitar a expansão, vamos fatorar o denominador:
Aqui, usei o fato de que , já que .
Passo 4
Reconhecemos que a expressão é a forma da série geométrica, que pode ser expandida como:
Aplicando isso na nossa função, onde , temos:
Simplificando um pouco mais:
Passo 5
Agora, identificamos o raio de convergência da série geométrica, que é . No nosso caso, , então:
Isso significa que a série converge dentro do disco de convergência centrado em com raio 1.
Resposta
A expansão em série de potências de f(z) = -i sumn=0^infty (i - z)^n em torno de é: