Nos Exercs. 1 a 5, obtenha os desenvolvimentos em séries de potências, conforme especificação em cada caso. Determine os respectivos discos de convergência e represente-os graficamente.
f(z)=1 / z em potências de z-i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expandir a função em uma série de potências em torno de . A matéria que estamos trabalhando aqui é a expansão em séries de potências, e para isso, vamos precisar usar a série geométrica. Basicamente, vamos reescrever a função de forma que ela se encaixe na fórmula da série geométrica para facilitar a expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(z) = 1z = 1i + w em termos de . Assim, temos:
Aqui, substituímos por porque queremos expandir em potências de , que é nosso .

Passo 3

Agora, para facilitar a expansão, vamos fatorar o denominador:
f(z) = 1i + w = 1i cdot 11 + wi = -i cdot 11 - (-wi)
Aqui, usei o fato de que , já que .

Passo 4

Reconhecemos que a expressão 11 - x = sumn=0^infty x^n para |x| < 1 é a forma da série geométrica, que pode ser expandida como:
f(z) = -i cdot sumn=0^infty (-wi)^n = -i cdot sumn=0^infty (-(z - i)i)^n
Aplicando isso na nossa função, onde f(z) = -i cdot sumn=0^infty (i - zi^2)^n = -i cdot sumn=0^infty (i - z)^n , temos:
Simplificando um pouco mais:

Passo 5

Agora, identificamos o raio de convergência da série geométrica, que é | -z - ii | < 1 Rightarrow |z - i| < |i| = 1 . No nosso caso, , então:
Isso significa que a série converge dentro do disco de convergência centrado em com raio 1.

Resposta

A expansão em série de potências de f(z) = -i sumn=0^infty (i - z)^n em torno de é:
E o disco de convergência dessa série é .

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