Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite, se existir, da função
quando
se aproxima de
.
Informações dadas: a expressão explícita de .
Pergunta: existe ? Se sim, qual é o valor?
Informações dadas: a expressão explícita de
Pergunta: existe
Passo 2
O que significa dizer
?
Significa que para todo existe
tal que, sempre que
, então
.
Aqui queremos mostrar que existe um (ou mostrar que não existe). Uma maneira rápida é observar continuidade: polinômios em
e
são funções contínuas em todo
, então o limite no ponto é igual ao valor da função no ponto. Vou detalhar isso e também dar uma prova
-
explícita, para você saber como justificar na prova.
Significa que para todo
Aqui queremos mostrar que existe um
Passo 3
Calcule o valor da função no ponto
:
Pelo fato de
ser um polinômio em
e
,
é contínua em
. Portanto, pela definição de continuidade, o limite candidato é
. Mas vou provar diretamente com estimativas (modo
-
), que é o que costumam pedir na prova.
Passo 4
Definimos
. Note que
e
. Vamos estimar
em termos de
:
Agora boundeamos cada termo usando
e
:
Logo
Passo 5
Queremos transformar a estimativa anterior numa forma conveniente para aplicar
-
. Se escolhermos
então
e valem as desigualdades
. Assim, para
,
Portanto, sempre que
temos
Dado um
, escolha
Então, se
teremos
, logo
Isso mostra, pela definição
-
, que
Passo 6
Para reforçar a intuição: se você aproximar por qualquer caminho simples, o valor tende a
. Exemplos rápidos: sobre
temos
; sobre
temos
; sobre
temos
. Todas essas confirmações são coerentes com o resultado da prova anterior.
Resposta
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