Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
f(x, y)=x^{3} y+12 x^{2}-8 y

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite, se existir, da função
f(x,y)=x^{3}y+12x^{2}-8y
quando (x,y) se aproxima de (0,0).
Informações dadas: a expressão explícita de f(x,y).
Pergunta: existe \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)? Se sim, qual é o valor?

Passo 2

O que significa dizer \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L?
Significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Aqui queremos mostrar que existe um L (ou mostrar que não existe). Uma maneira rápida é observar continuidade: polinômios em x e y são funções contínuas em todo \mathbb{R}^{2}, então o limite no ponto é igual ao valor da função no ponto. Vou detalhar isso e também dar uma prova \varepsilon- \delta explícita, para você saber como justificar na prova.

Passo 3

Calcule o valor da função no ponto (0,0):
f(0,0)=0^{3}\cdot0+12\cdot0^{2}-8\cdot0=0.
Pelo fato de f ser um polinômio em x e y, f é contínua em (0,0). Portanto, pela definição de continuidade, o limite candidato é L=0. Mas vou provar diretamente com estimativas (modo \varepsilon- \delta), que é o que costumam pedir na prova.

Passo 4

Definimos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Note que |x|\le r e |y|\le r. Vamos estimar |f(x,y)| em termos de r:
|f(x,y)| = |x^{3}y+12x^{2}-8y| \le |x^{3}y| + 12|x^{2}| + 8|y|.
Agora boundeamos cada termo usando |x|\le r e |y|\le r:
|x^{3}y| \le |x|^{3}|y| \le r^{4},
12|x^{2}| \le 12 r^{2},
8|y| \le 8 r.
Logo
|f(x,y)| \le r^{4} + 12 r^{2} + 8 r.

Passo 5

Queremos transformar a estimativa anterior numa forma conveniente para aplicar \varepsilon- \delta. Se escolhermos \delta\le 1 então r<1 e valem as desigualdades r^{4}<r^{2}<r. Assim, para 0<r<1,
r^{4} + 12 r^{2} + 8 r < r + 12 r + 8 r = 21 r.
Portanto, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r<1 temos
|f(x,y)| < 21 r.
Dado um \varepsilon>0, escolha
\delta = \min\{1,\; \tfrac{\varepsilon}{21}\}.
Então, se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta teremos r<\delta\le \tfrac{\varepsilon}{21}, logo
|f(x,y)| < 21 r < 21\cdot\tfrac{\varepsilon}{21}=\varepsilon.
Isso mostra, pela definição \varepsilon- \delta, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 6

Para reforçar a intuição: se você aproximar por qualquer caminho simples, o valor tende a 0. Exemplos rápidos: sobre y=0 temos f(x,0)=12x^{2}\to0; sobre x=0 temos f(0,y)=-8y\to0; sobre y=m x temos f(x,mx)=m x^{4}+12x^{2}-8m x\to0. Todas essas confirmações são coerentes com o resultado da prova anterior.

Resposta

0

Exercícios relacionados