Encontre o máximo local e o mínimo local.
elevado a
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre o máximo local e o mínimo local” para a função dada. As informações do enunciado são:
Vou entender isso como a função
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está escrita como uma base
elevada a um expoente que depende de , isto é, com . - Para que
seja bem definido (sem considerar extensões a números complexos), consideramos o domínio . - A tarefa é localizar pontos críticos (onde
ou não existir no domínio) e determinar se nesses pontos há máximo ou mínimo local.
Passo 2
Estratégia e técnica útil (aula curta): quando a função é da forma
com
função de
, é muito prático usar diferenciação logarítmica. A ideia é:
- Tomar o logaritmo natural:
. - Diferenciar ambos os lados em relação a
(regra da cadeia e produto). - Isolar
usando que .
Aplicando isso aqui:
defina
defina
Tomando logaritmo:
Agora derivamos ambos os lados. Pela regra da cadeia,
. Pela regra do produto, a derivada do lado direito é
. Então:
Calcule
:
Substituindo:
Multiplicando por
obtemos
:
Passo 3
Simplificação da expressão de
de forma a estudar o sinal:
Primeiro fatoramos um para ficar mais claro:
Primeiro fatoramos um
Podemos também colocar num denominador comum (multiplicando a expressão entre parênteses por
) para ver o sinal:
Como
e
(pois
e a potência de um positivo é positiva), o sinal de
é o mesmo do sinal de
Para pontos críticos buscamos
, isto é
Passo 4
Encontrando soluções da equação crítica:
- Teste óbvio:
. Substituindo temos . Logo satisfaz a equação, é um ponto crítico. - Verificar se existem outros pontos críticos em
.
Defina a função
Observações:
-
é contínua em . - Para
temos , então (na verdade estritamente para ) e , o que faz . Portanto para todo temos . - Para
temos , então e , logo . Assim para todo temos .
Conclusão: a equação
tem exatamente uma solução em
, que é
. Não há outros pontos críticos no domínio
.
Passo 5
Classificação do ponto crítico
(teste do sinal de
):
- Para
vimos que , logo . Como o sinal de é o sinal de , segue que para . Ou seja, é crescente em toda a esquerda de . - Para
temos , então e assim para . Ou seja, é decrescente à direita de .
Como a função aumenta antes de
e diminui depois de
,
é um ponto de máximo local.
Passo 6
Valor da função no ponto crítico:
Portanto o máximo local tem valor
em
.
Passo 7
Verificação de mínimos locais: não existem outros pontos críticos no domínio
, e não há pontos onde a derivada deixa de existir dentro do domínio. Assim não há mínimos locais.
Resposta
Máximo local em
com valor
.
Não há mínimo local.
Não há mínimo local.