Encontre o máximo local e o mínimo local.
Y=X elevado a 4-4 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre o máximo local e o mínimo local” para a função dada. As informações do enunciado são:
Y = X^{4-4X^{3}}
Vou entender isso como a função
y = x^{4-4x^{3}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está escrita como uma base x elevada a um expoente que depende de x, isto é, x^{u(x)} com u(x)=4-4x^{3}.
  • Para que x^{\text{(expoente real)}} seja bem definido (sem considerar extensões a números complexos), consideramos o domínio x>0.
  • A tarefa é localizar pontos críticos (onde y'=0 ou y' não existir no domínio) e determinar se nesses pontos há máximo ou mínimo local.

Passo 2

Estratégia e técnica útil (aula curta): quando a função é da forma y=x^{u(x)} com u(x) função de x, é muito prático usar diferenciação logarítmica. A ideia é:
  • Tomar o logaritmo natural: \ln y = u(x)\ln x.
  • Diferenciar ambos os lados em relação a x (regra da cadeia e produto).
  • Isolar y' usando que y' = y \cdot (\text{derivada de }\ln y).
Aplicando isso aqui:
defina
u(x)=4-4x^{3}.
Tomando logaritmo:
\ln y = u(x)\ln x = \bigl(4-4x^{3}\bigr)\ln x.
Agora derivamos ambos os lados. Pela regra da cadeia, \frac{d}{dx}\ln y = \frac{y'}{y}. Pela regra do produto, a derivada do lado direito é u'(x)\ln x + u(x)\cdot\frac{1}{x}. Então:
\frac{y'}{y} = u'(x)\ln x + \frac{u(x)}{x}.
Calcule u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4-4x^{3}\bigr) = -12x^{2}.
Substituindo:
\frac{y'}{y} = -12x^{2}\ln x + \frac{4-4x^{3}}{x}.
Multiplicando por y obtemos y':
y' = y\left(-12x^{2}\ln x + \frac{4-4x^{3}}{x}\right).

Passo 3

Simplificação da expressão de y' de forma a estudar o sinal:
Primeiro fatoramos um 4 para ficar mais claro:
y' = y\left(\frac{4(1-x^{3})}{x} -12x^{2}\ln x\right) =4y\left(\frac{1-x^{3}}{x} -3x^{2}\ln x\right).
Podemos também colocar num denominador comum (multiplicando a expressão entre parênteses por x) para ver o sinal:
\text{expressão entre colchetes} = \frac{1-x^{3}}{x} -3x^{2}\ln x \quad\Longrightarrow\quad x\cdot(\text{colchetes}) = 1 - x^{3}\bigl(1+3\ln x\bigr).ã
Como x>0 e y>0 (pois x>0 e a potência de um positivo é positiva), o sinal de y' é o mesmo do sinal de
1 - x^{3}\bigl(1+3\ln x\bigr).
Para pontos críticos buscamos y'=0, isto é
1 - x^{3}\bigl(1+3\ln x\bigr) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{3}\bigl(1+3\ln x\bigr) = 1.

Passo 4

Encontrando soluções da equação crítica:
  • Teste óbvio: x=1. Substituindo \ln 1=0 temos 1^{3}(1+0)=1. Logo x=1 satisfaz a equação, é um ponto crítico.
  • Verificar se existem outros pontos críticos em x>0.
Defina a função
\varphi(x)=x^{3}\bigl(1+3\ln x\bigr).
Observações:
  • \varphi é contínua em (0,\infty).
  • Para 0<x<1 temos \ln x<0, então 1+3\ln x \le 1 (na verdade estritamente <1 para x\neq1) e x^{3}<1, o que faz \varphi(x)<1. Portanto para todo 0<x<1 temos \varphi(x)<1.
  • Para x>1 temos \ln x>0, então 1+3\ln x>1 e x^{3}>1, logo \varphi(x)>x^{3}>1. Assim para todo x>1 temos \varphi(x)>1.
Conclusão: a equação \varphi(x)=1 tem exatamente uma solução em (0,\infty), que é x=1. Não há outros pontos críticos no domínio x>0.

Passo 5

Classificação do ponto crítico x=1 (teste do sinal de y'):
  • Para 0<x<1 vimos que \varphi(x)<1, logo 1-\varphi(x)>0. Como o sinal de y' é o sinal de 1-\varphi(x), segue que y'>0 para 0<x<1. Ou seja, y é crescente em toda a esquerda de x=1.
  • Para x>1 temos \varphi(x)>1, então 1-\varphi(x)<0 e assim y'<0 para x>1. Ou seja, y é decrescente à direita de x=1.
Como a função aumenta antes de x=1 e diminui depois de x=1, x=1 é um ponto de máximo local.

Passo 6

Valor da função no ponto crítico:
y(1)=1^{4-4\cdot 1^{3}} = 1^{4-4} = 1^{0} = 1.
Portanto o máximo local tem valor 1 em x=1.

Passo 7

Verificação de mínimos locais: não existem outros pontos críticos no domínio x>0, e não há pontos onde a derivada deixa de existir dentro do domínio. Assim não há mínimos locais.

Resposta

Máximo local em x=1 com valor y=1.
Não há mínimo local.

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