Numa circunferência de centro O e raio 6 cm , traça-se uma corda \overline{A B}. Sobre essa corda , toma-se um ponto M de tal forma que \mathrm{AM}=5 e \mathrm{OM}=4 \mathrm{~cm}. Determine a medida do segmento \overline{M B}.

Passo 1

O enunciado diz: numa circunferência de centro O e raio 6\\ \text{cm} traça-se uma corda \overline{AB}. Sobre essa corda toma-se um ponto M tal que \mathrm{AM}=5 e \mathrm{OM}=4\\ \text{cm}. Pede-se determinar a medida do segmento \overline{MB}.
Informações dadas:
\; - Centro: O.
\; - Raio: \; \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=6\\ \text{cm}.
\; - Ponto M pertence à corda \overline{AB}.
\; - \mathrm{AM}=5.
\; - \mathrm{OM}=4\\ \text{cm}.
O que se pede:
\; - Calcular \mathrm{MB}.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicado passo a passo): o produto das distâncias de um ponto interior M a uma circunferência até os dois pontos onde a reta através de M corta a circunferência é igual a R^{2}-\mathrm{OM}^{2}, onde R é o raio da circunferência. Em outras palavras, para a corda \overline{AB} que passa por M vale a relação
\mathrm{AM}\cdot \mathrm{MB}=R^{2}-\mathrm{OM}^{2}.
Vou mostrar por que isso é verdade, de um jeito bem direto.

Passo 3

Demonstração (curtinha, só a ideia para você levar para a prova):
Seja H o pé da perpendicular de O sobre a corda \overline{AB}. É um fato clássico que H é o ponto médio de \overline{AB}, ou seja, \mathrm{AH}=\mathrm{HB}. Nas figuras, os comprimentos ao longo da reta AB satisfazem
\mathrm{AM}=\mathrm{AH}+\mathrm{HM} e \mathrm{MB}=\mathrm{BH}-\mathrm{HM}=\mathrm{AH}-\mathrm{HM}.
Agora olhe os triângulos retângulos:
\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OH}^{2}+\mathrm{AH}^{2} e \mathrm{OM}^{2}=\mathrm{OH}^{2}+\mathrm{HM}^{2}.
Subtraindo a segunda da primeira obtemos
\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OM}^{2}=\mathrm{AH}^{2}-\mathrm{HM}^{2}.
Ora, o lado direito é uma diferença de quadrados que fatoriza:
\mathrm{AH}^{2}-\mathrm{HM}^{2}=(\mathrm{AH}+\mathrm{HM})(\mathrm{AH}-\mathrm{HM})=\mathrm{AM}\cdot \mathrm{MB}.
Portanto
\mathrm{AM}\cdot \mathrm{MB}=\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OM}^{2}=R^{2}-\mathrm{OM}^{2},
que é justamente a relação que vamos usar.

Passo 4

Aplique a fórmula aos números do problema. Aqui R=6 e \mathrm{OM}=4, logo
\mathrm{AM}\cdot \mathrm{MB}=R^{2}-\mathrm{OM}^{2}=6^{2}-4^{2}=36-16=20.

Passo 5

Como \mathrm{AM}=5, temos
5\cdot \mathrm{MB}=20.
Isolando \mathrm{MB},
\mathrm{MB}=\frac{20}{5}=4.

Passo 6

Verificação rápida de plausibilidade: \mathrm{AM}=5 e \mathrm{MB}=4 dão \mathrm{AB}=9, que é menor que o diâmetro 2R=12, então faz sentido geométrico — a corda pode ter comprimento 9 dentro de um círculo de raio 6. Bom trabalho! Continua assim que você vai tirar de letra na prova.

Resposta

\;4\\ \text{cm}

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