Utilize a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
17.
, onde
17.
Passo 1
Enunciado que recebemos: temos uma função
, onde
e
dependem de três variáveis
segundo
e
. A pergunta implícita é: determinar a derivada de
em relação a
(isto é,
) usando a Regra da Cadeia. Informações relevantes dadas:
-
é dada por . -
depende de por . -
depende de por . - Queremos a taxa de variação de
quando somente varia (ou seja, a derivada total de em relação a ).
Passo 2
Ideia básica (intuição antes da conta):
muda quando
muda e quando
muda. Se
muda, isso pode provocar mudanças em
e em
, e essas mudanças em
e
afetam
. A Regra da Cadeia para funções compostas diz que a derivada total de
em relação a
soma as contribuições vindas de cada caminho pelo qual
afeta
.
Passo 3
Definições úteis (devemos saber o que cada símbolo significa):
-
é a derivada parcial de em relação a : diz quanto muda se apenas variar (mantendo fixo). -
é a derivada parcial de em relação a : diz quanto muda se apenas variar (mantendo fixo). -
é a derivada parcial de em relação a , isto é, quanto muda quando só varia (com mantidos constantes). -
é análogo para .
Observação importante: como
e
dependem de três variáveis,
e
significam derivadas parciais onde mantemos
e
fixos e derivamos em relação a
.
Passo 4
Derivação formal usando diferenciais (método prático que uso sempre na prova):
- Escrevo o diferencial total de
:
Aqui
é o diferencial de
quando
varia e
é o diferencial de
.
- Divido ambos os lados por
para obter a derivada total em relação a :
- Como
e são dadas por funções de , as taxas e aqui correspondem a derivadas parciais de e em relação a (mantendo constantes). Portanto a forma final é
Passo 5
Interpretação de cada termo (para você saber o que calcular na prova):
-
e devem ser calculadas como derivadas parciais de em termos de e . Trate como função de duas variáveis. -
e são derivadas da regra que descreve e em relação a , mantendo constantes. - Depois de achar essas quatro quantidades, multiplique e some conforme a fórmula.
Passo 6
Exemplo concreto (pra fixar e você conseguir reproduzir na prova):
Suponha ,
e
.
Suponha
- Calcule as parciais de
:
- Calcule as derivadas de
e em relação a (com fixos):
- Use a fórmula:
- Se quiser avaliar em um ponto específico, substitua
e e depois os valores numéricos de .
Passo 7
Dicas para a prova (rápidas e práticas):
- Primeiro calcule
e . - Depois calcule
e . - Substitua e simplifique; não esqueça que
e são parciais (segure constantes). - Se o enunciado pedir
ou com outra letra, o procedimento é idêntico: escreva o total via soma das contribuições das variáveis internas.