Utilize a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t.
17. u=f(x, y), onde x=x(r, s, t), y=y(r, s, t)

Passo 1

Enunciado que recebemos: temos uma função u=f(x,y), onde x e y dependem de três variáveis (r,s,t) segundo x=x(r,s,t) e y=y(r,s,t). A pergunta implícita é: determinar a derivada de u em relação a t (isto é, \dfrac{d u}{d t}) usando a Regra da Cadeia. Informações relevantes dadas:
  • u é dada por u=f(x,y).
  • x depende de (r,s,t) por x=x(r,s,t).
  • y depende de (r,s,t) por y=y(r,s,t).
  • Queremos a taxa de variação de u quando somente t varia (ou seja, a derivada total de u em relação a t).

Passo 2

Ideia básica (intuição antes da conta): u muda quando x muda e quando y muda. Se t muda, isso pode provocar mudanças em x e em y, e essas mudanças em x e y afetam u. A Regra da Cadeia para funções compostas diz que a derivada total de u em relação a t soma as contribuições vindas de cada caminho pelo qual t afeta u.

Passo 3

Definições úteis (devemos saber o que cada símbolo significa):
  • \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x: diz quanto f muda se apenas x variar (mantendo y fixo).
  • \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial de f em relação a y: diz quanto f muda se apenas y variar (mantendo x fixo).
  • \dfrac{\partial x}{\partial t} é a derivada parcial de x(r,s,t) em relação a t, isto é, quanto x muda quando só t varia (com r,s mantidos constantes).
  • \dfrac{\partial y}{\partial t} é análogo para y.
Observação importante: como x e y dependem de três variáveis, \dfrac{\partial x}{\partial t} e \dfrac{\partial y}{\partial t} significam derivadas parciais onde mantemos r e s fixos e derivamos em relação a t.

Passo 4

Derivação formal usando diferenciais (método prático que uso sempre na prova):
  1. Escrevo o diferencial total de u:
du = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.
Aqui dx é o diferencial de x quando t varia e dy é o diferencial de y.
  1. Divido ambos os lados por dt para obter a derivada total em relação a t:
\frac{du}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
  1. Como x e y são dadas por funções de (r,s,t), as taxas \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} aqui correspondem a derivadas parciais de x e y em relação a t (mantendo r,s constantes). Portanto a forma final é
\frac{du}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t}.

Passo 5

Interpretação de cada termo (para você saber o que calcular na prova):
  • \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} devem ser calculadas como derivadas parciais de f em termos de x e y. Trate f como função de duas variáveis.
  • \dfrac{\partial x}{\partial t} e \dfrac{\partial y}{\partial t} são derivadas da regra que descreve x(r,s,t) e y(r,s,t) em relação a t, mantendo r,s constantes.
  • Depois de achar essas quatro quantidades, multiplique e some conforme a fórmula.

Passo 6

Exemplo concreto (pra fixar e você conseguir reproduzir na prova):
Suponha f(x,y)=x^{2}y+\sin y, x(r,s,t)=r+t e y(r,s,t)=s\,t.
  1. Calcule as parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+\cos y.
  1. Calcule as derivadas de x e y em relação a t (com r,s fixos):
\frac{\partial x}{\partial t}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=s.
  1. Use a fórmula:
\frac{du}{dt}=(2x y)\cdot 1 + (x^{2}+\cos y)\cdot s.
  1. Se quiser avaliar em um ponto específico, substitua x=r+t e y=s t e depois os valores numéricos de r,s,t.

Passo 7

Dicas para a prova (rápidas e práticas):
  • Primeiro calcule \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Depois calcule \dfrac{\partial x}{\partial t} e \dfrac{\partial y}{\partial t}.
  • Substitua e simplifique; não esqueça que \dfrac{\partial x}{\partial t} e \dfrac{\partial y}{\partial t} são parciais (segure r,s constantes).
  • Se o enunciado pedir \dfrac{dz}{dt} ou \dfrac{dw}{dt} com outra letra, o procedimento é idêntico: escreva o total via soma das contribuições das variáveis internas.

Resposta

\frac{du}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t}

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