Calcule a integral dupla integral duplaR f(x, y) d x d y, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde f e R são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y)=x-yx+y, R é a região retangular limitada pelas retas x-y= 0, x-y=2, x+y=1 e x+y=3 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integral dupla juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y) = x - yx + y. A região R é delimitada pelas retas x - y = 0, x - y = 2, x + y = 1 e x + y = 3. Para resolver isso, a gente vai usar uma mudança de variáveis apropriada, especificamente definindo novas variáveis que simplifiquem a região e a função a ser integrada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variáveis que facilite a nossa vida. Observando as retas que delimitam R, vemos que elas são expressas em termos de x - y e x + y. Então, vamos definir:
u = x - y e v = x + y
Com isso, transformamos as retas que delimitam R em funções mais simples de u e v.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação, que nos ajuda a substituir dx,dy por du,dv. Primeiro, expressamos x e y em termos de u e v:
x = u + v2 e y = v - u2
Em seguida, calculamos as derivadas parciais:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12, partial ypartial u = -12, partial ypartial v = 12
O jacobiano J é então:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = (12 cdot 12) - (12 cdot -12) = 14 + 14 = 12

Passo 4

Vamos reescrever a função f(x, y) em termos de u e v:
f(x, y) = x - yx + y = uv
Agora, a integral dupla original se torna:
integral duplaR f(x, y) , dx , dy = integral duplaR' uv cdot |12| , du , dv = 12 integral duplaR' uv , du , dv
Onde R' é a região transformada no plano uv.

Passo 5

Vamos identificar os novos limites de integração em termos de u e v. As retas que delimitam R transformam-se em:
u = 0, u = 2, v = 1, v = 3
Então, u varia de 0 a 2 e v varia de 1 a 3. Nossa integral fica:
12 integralu=0^2 integralv=1^3 uv , dv , du

Passo 6

Vamos resolver a integral em v primeiro:
integral1^3 uv , dv = u integral1^3 1v , dv = u [ln v]1^3 = u (ln 3 - ln 1) = u ln 3
Agora, substituímos de volta na integral:
12 integral0^2 u ln 3 , du = ln 32 integral0^2 u , du = ln 32 [ u^22 ]0^2 = ln 32 ( 42 - 0 ) = ln 32 cdot 2 = ln 3

Resposta

O valor da integral dupla é ln 3.

Exercícios relacionados