Calcule a integral dupla , fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde e são dados, em cada um dos seguintes itens. é a região retangular limitada pelas retas e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integral dupla juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde . A região é delimitada pelas retas , , e . Para resolver isso, a gente vai usar uma mudança de variáveis apropriada, especificamente definindo novas variáveis que simplifiquem a região e a função a ser integrada.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variáveis que facilite a nossa vida. Observando as retas que delimitam , vemos que elas são expressas em termos de e . Então, vamos definir:
Com isso, transformamos as retas que delimitam em funções mais simples de e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação, que nos ajuda a substituir por . Primeiro, expressamos e em termos de e :
Em seguida, calculamos as derivadas parciais:
O jacobiano é então:
Passo 4
Vamos reescrever a função f(x, y) em termos de u e v:
f(x, y) = x - yx + y = uv
Agora, a integral dupla original se torna:
integral duplaR f(x, y) , dx , dy = integral duplaR' uv cdot |12| , du , dv = 12 integral duplaR' uv , du , dv
Onde R' é a região transformada no plano uv.
Passo 5
Vamos identificar os novos limites de integração em termos de u e v. As retas que delimitam R transformam-se em:
u = 0, u = 2, v = 1, v = 3
Então, u varia de 0 a 2 e v varia de 1 a 3. Nossa integral fica:
12 integralu=0^2 integralv=1^3 uv , dv , du
Passo 6
Vamos resolver a integral em v primeiro:
integral1^3 uv , dv = u integral1^3 1v , dv = u [ln v]1^3 = u (ln 3 - ln 1) = u ln 3
Agora, substituímos de volta na integral:
12 integral0^2 u ln 3 , du = ln 32 integral0^2 u , du = ln 32 [ u^22 ]0^2 = ln 32 ( 42 - 0 ) = ln 32 cdot 2 = ln 3