Calcule a integral dupla integral duplaR f(x, y) d x d y, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde f e R são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y)=e^(x+y) /(x-y), R é a região trapezoidal limitada pelas retas
x-y=1, x-y=2, y=0 e x=0 ;

Passo 1

Estamos lidando com uma integral dupla de mudança de variáveis. Queremos calcular
I = integral duplaR e^(x+y)/(x-y),dx,dy,
onde R é a região trapezoidal limitada por
x - y = 1, x - y = 2, y = 0, x = 0
O conteúdo aqui é a técnica de mudança de variáveis em integrais duplas, escolhendo variáveis que simplifiquem tanto a função quanto a região.

Passo 2

Para simplificar o integrando e a região, definimos
u = x + y, v = x - y
Invertendo,
$$x = \frac{u+v}{2}, \quad y = \frac{u-v}{2}.
$$
O Jacobiano é
$$J = \det \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det x = u+v2, y = u-v2 = -\tfrac12,
$$
de modo que J = det partial(x,y)partial(u,v) = det 1/2 & 1/2 1/2 & -1/2 = -tfrac12, em valor absoluto.

Passo 3

Agora descrevemos R no plano (u,v):
  • As retas x-y=1 e x-y=2 viram v=1 e v=2.
  • A reta y=0 u=v.
  • A reta x=0 u=-v.
Logo, v varia de 1 a 2 e, para cada v, u vai de -v até +v.

Passo 4

Substituindo tudo na integral,
$$I = \iint_{\mathcal{R}} e^{u/v},dx,dy = \int_{v=1}{2}\int_{u=-v}{v} e^{u/v}\cdot \tfrac12,du,dv.
$$
Calculando a integral interna em I = integral duplaR e^u/v,dx,dy = integralv=1^2integralu=-v^v e^u/vcdot tfrac12,du,dv :
u
Faça integral-v^v e^u/v,du, então t=u/v e os limites vão de du = v,dt a t=-1:
$$\int_{-v}^{v} e^{u/v}du = v\int_{-1}^{1} e^t dt = v\bigl(e - e^{-1}\bigr).
$$
Logo
t=1

Passo 5

Agora basta integrar em v:
$$\int_{1}^{2}v,dv = \Bigl[\tfrac{v2}{2}\Bigr]_{1}{2} = \frac{4-1}{2} = \frac32.
$$
Assim,
$$I = \frac{e - e^{-1}}{2}\cdot \frac32 = \frac{3}{4}\bigl(e - e^{-1}\bigr).
$$

Resposta

tfrac34l(e - e^-1r)

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