Determine a posição relativa e a interseção entre quaisquer dois dos planos abaixo.
ll pi1: 2 x-y-z-1=0 ; & pi2: 4 x-2 y-2 z+3=0 pi3: x-y=0 ; & pi4:(x, y, z)=(t, t, s)

Passo 1

O enunciado dá quatro planos em R^3:
pi1:2x - y - z - 1 = 0, pi2:4x - 2y - 2z + 3 = 0,
pi3:x - y = 0, pi4:;(x,y,z)=(t,t,s)
O objetivo é, para cada par de planos, identificar se eles são paralelos, coincidentes ou se intersectam, e descrever a interseção quando houver.

Passo 2

Calculemos os vetores normais:
n1=(2,,-1,,-1), n2=(4,,-2,,-2), n3=(1,,-1,,0)
Como pi4 é dada por x=y e z livre, seu normal também é proporcional a n3.

Passo 3

Compare pi1 e pi2.
Os normais satisfazem n2=2,n1, logo os planos são paralelos ou coincidentes.
Para ver se coincidem, comparemos as constantes:
pi1times2 4x -2y -2z -2 = 0, mas pi2 tem constante +3.
Elas não coincidem, portanto
pi1paral<=lpi2, pi1cappi2=varnothing

Passo 4

Compare pi1 e pi3.
Os normais n1 e n3 não são colineares, então pi1 e pi3 se intersectam numa reta.
Para encontrar a reta, imponha x=y em pi1:
2x - x - z -1=0 ;Longrightarrow;x - z -1=0 ;Longrightarrow;z = x -1
Logo a interseção é a reta
pi1cappi3:;(x,y,z)=(t,t,t-1),;tinR

Passo 5

Como pi4 é exatamente x=y com z livre, tem-se
pi1cappi4=pi1cappi3
ou seja, a mesma reta (t,t,t-1).

Passo 6

Compare pi2 e pi3.
Novamente os normais não são paralelos, logo há reta de interseção.
Impondo x=y em pi2:
4x -2x -2z +3=0 ;Longrightarrow;2x -2z +3=0 ;Longrightarrow;z = x + tfrac32
Assim
pi2cappi3:;(x,y,z)=(t,t,t+tfrac32),;tinR

Passo 7

Como pi4equivx=y, segue
pi2cappi4=pi2cappi3,
isto é, a reta (t,t,t+tfrac32).

Passo 8

Finalmente, pi3 e pi4 são exatamente o mesmo plano x-y=0.
Portanto
pi3equivpi4, pi3cappi4=pi3;(o plano todo)

Resposta

pi1paral<=lpi2, sem interseção.
pi1cappi3=pi1cappi4:;(t,t,t-1).
pi2cappi3=pi2cappi4:;(t,t,t+tfrac32).
pi3equivpi4, coincide.

Exercícios relacionados