Determine a posição relativa e a interseção entre quaisquer dois dos planos abaixo.
Passo 1
O enunciado dá quatro planos em
:
O objetivo é, para cada par de planos, identificar se eles são paralelos, coincidentes ou se intersectam, e descrever a interseção quando houver.
Passo 2
Calculemos os vetores normais:
Como
é dada por
e
livre, seu normal também é proporcional a
.
Passo 3
Compare
e
.
Os normais satisfazem , logo os planos são paralelos ou coincidentes.
Para ver se coincidem, comparemos as constantes:
dá
, mas
tem constante
.
Elas não coincidem, portanto
Os normais satisfazem
Para ver se coincidem, comparemos as constantes:
Elas não coincidem, portanto
Passo 4
Compare
e
.
Os normais e
não são colineares, então
e
se intersectam numa reta.
Para encontrar a reta, imponha em
:
Os normais
Para encontrar a reta, imponha
Logo a interseção é a reta
Passo 5
Como
é exatamente
com
livre, tem-se
ou seja, a mesma reta
.
Passo 6
Compare
e
.
Novamente os normais não são paralelos, logo há reta de interseção.
Impondo em
:
Novamente os normais não são paralelos, logo há reta de interseção.
Impondo
Assim
Passo 7
Como
, segue
isto é, a reta
.
Passo 8
Finalmente,
e
são exatamente o mesmo plano
.
Portanto
Portanto