Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrarmos o limite de
quando
se aproxima de
. Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis e vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como elas se comportam perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que
é a distância ao quadrado do ponto
até a origem
. Vamos chamar essa distância de
, onde
. Assim, podemos reescrever o limite em termos de
:
Passo 3
Agora, vamos focar no limite unidimensional que temos:
Aqui, observamos que conforme
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então, estamos analisando o comportamento de
quando
se aproxima de 0, onde
.
Passo 4
Sabemos da derivada da função exponencial que:
Isso vem da definição da derivada de
no ponto
. Aplicando isso ao nosso caso:
Resposta
O limite é igual a
.