Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) a^x^2+y^2-1x^2+y^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrarmos o limite de quando se aproxima de . Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis e vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como elas se comportam perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que lim(x, y) to (0,0) a^x^2+y^2 - 1x^2+y^2 = limr to 0 a^r^2 - 1r^2 é a distância ao quadrado do ponto até a origem . Vamos chamar essa distância de , onde . Assim, podemos reescrever o limite em termos de :

Passo 3

Agora, vamos focar no limite unidimensional que temos:
limr to 0 a^r^2 - 1r^2
Aqui, observamos que conforme se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então, estamos analisando o comportamento de quando se aproxima de 0, onde .

Passo 4

Sabemos da derivada da função exponencial que:
limh to 0 a^h - 1h = ln(a)
Isso vem da definição da derivada de limr to 0 a^r^2 - 1r^2 = ln(a) no ponto . Aplicando isso ao nosso caso:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados