Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral0^3 d x2 x+3

Passo 1

A questão quer calcular a integral definida integral0^3dx2x+3 usando o método de substituição. O tema é “integração por substituição” e vamos precisar identificar uma expressão interna cuja derivada apareça (ou seja, reconhecer que a derivada de 2x+3 é um múltiplo de dx).

Passo 2

Para aplicar a substituição, seja u = 2x + 3. Então derivando ambos os lados temos du = 2,dx, ou seja, dx = tfracdu2. Essa troca vai simplificar o denominador.
Como é uma integral definida, precisamos mudar os limites de integração. Quando x = 0, então u = 2cdot0 + 3 = 3. Quando x = 3, temos u = 2cdot3 + 3 = 9.

Passo 3

Substituindo tudo na integral original:
integral0^3dx2x+3 = integralu=3^u=91ucdotdu2 = 12integral3^9duu = 12l[ln|u|r]3^9 = 12(ln 9 - ln 3) = 12ln!3

Passo 4

Concluímos que o valor da integral é tfrac12ln 3.

Resposta

tfrac12ln 3

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