Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
(1,0) lim (x, y, z) (-2,1,1) x^3 y^3+8 z^3x y+2 z.

Passo 1

Resumo do enunciado:
Temos que calcular o limite da função x^3 y^3+8 z^3x y+2 z quando as variáveis (x, y, z) se aproximam de (-2,1,1). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites de funções de várias variáveis e técnicas de fatoração algébrica.

Passo 2

Verificando o limite direto:
Primeiro, vamos substituir (x, y, z) = (-2,1,1) na expressão do limite para ver o que acontece:
  • Numerador:
    (-2)^3 cdot 1^3 + 8 cdot 1^3 = -8 + 8 = 0
  • Denominador:
    (-2) cdot 1 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0
Isso nos dá uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Fatorando o numerador:
Observamos que o numerador x^3 y^3 + 8 z^3 pode ser escrito como uma soma de cubos:
x^3 y^3 + (2 z)^3
Lembrando da fórmula da soma de cubos:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - a b + b^2)
Aplicando essa fatoração ao numerador:
x^3 y^3 + (2 z)^3 = (x y + 2 z)(x^2 y^2 - 2 x y z + 4 z^2)

Passo 4

Simplificando a expressão do limite:
Substituímos a fatoração do numerador na expressão original:
(x y + 2 z)(x^2 y^2 - 2 x y z + 4 z^2)x y + 2 z
Podemos cancelar o fator comum (x y + 2 z) no numerador e no denominador, desde que x y + 2 z neq 0. Como estamos calculando um limite próximo ao ponto (-2,1,1), essa simplificação é válida.
A expressão simplificada fica então:
x^2 y^2 - 2 x y z + 4 z^2

Passo 5

Calculando o limite da expressão simplificada:
Agora, substituímos (x, y, z) = (-2,1,1) na expressão simplificada:
(-2)^2 cdot 1^2 - 2 cdot (-2) cdot 1 cdot 1 + 4 cdot 1^2 = 4 + 4 + 4 = 12

Resposta

O limite é 12.

Exercícios relacionados