Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Resumo do enunciado:
Temos que calcular o limite da função
quando as variáveis
se aproximam de
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites de funções de várias variáveis e técnicas de fatoração algébrica.
Passo 2
Verificando o limite direto:
Primeiro, vamos substituir
na expressão do limite para ver o que acontece:
-
Numerador:
-
Denominador:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Fatorando o numerador:
Observamos que o numerador
pode ser escrito como uma soma de cubos:
Lembrando da fórmula da soma de cubos:
Aplicando essa fatoração ao numerador:
Passo 4
Simplificando a expressão do limite:
Substituímos a fatoração do numerador na expressão original:
Podemos cancelar o fator comum
no numerador e no denominador, desde que
. Como estamos calculando um limite próximo ao ponto
, essa simplificação é válida.
A expressão simplificada fica então:
Passo 5
Calculando o limite da expressão simplificada:
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.