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Sejam
e
a aplicação dada por
Se existentes, identifique e esboce as superfícies de nível
de
para
.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x, y, z) = \frac{5}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $ definida no conjunto $ U = \mathbb{R}^{3} - {(0,0,0)} $. A matéria envolvida aqui é de superfícies de nível em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar essas superfícies de nível para valores de $ k $ menores ou iguais a 5.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são superfícies de nível. Para uma função de múltiplas variáveis como $ f(x, y, z) $, uma superfície de nível para um valor $ k $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y, z) $ onde a função assume o valor $ k $. Matemáticamente, isso é representado por:
No nosso caso, queremos encontrar essas superfícies para $ k \leq 5 $.
Passo 3
Vamos substituir a função na equação da superfície de nível:
Agora, queremos isolar $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $. Para fazer isso, podemos multiplicar ambos os lados da equação por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $:
Em seguida, dividimos ambos os lados por $ k $ (lembrando que $ k \neq 0 $):
Passo 4
Observamos que a equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{5}{k} $ representa uma esfera no espaço tridimensional com centro na origem $ (0,0,0) $ e raio $ r = \sqrt{\frac{5}{k}} $. Isso significa que para cada valor de $ k $, temos uma esfera diferente.
Passo 5
Agora, vamos analisar para os valores de $ k \leq 5 $. Como $ k $ está no denominador da expressão para o raio, à medida que $ k $ diminui, o raio $ r $ aumenta. Especificamente:
-
Para $ k = 5 $:Então, a superfície de nível é uma esfera de raio 1.
-
Para $ k < 5 $:
O raio será maior que 1, pois $ \frac{5}{k} > 1 $ quando $ k < 5 $.
Portanto, todas as superfícies de nível para $ k \leq 5 $ são esferas concêntricas com a origem e com raios que aumentam à medida que $ k $ diminui.
Resposta
As superfícies de nível de $ f $ para $ k \leq 5 $ são esferas centradas na origem com raio $ r = \sqrt{\frac{5}{k}} $. Para cada valor de $ k $ menor ou igual a 5, temos uma esfera correspondente de raio crescente conforme $ k $ diminui.