Seja
a função definida por
. Considere
um número positivo dado.
Mostre que existe um
tal que, para todo ponto
,
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por
Queremos mostrar que, para qualquer número positivo $ \epsilon > 0 $, existe um $ \delta > 0 $ tal que, se
então
Isso está relacionado ao conceito de continuidade da função $ f $ no ponto $ (0,0,0) $. Vamos precisar usar a definição de limite para funções de várias variáveis e manipular desigualdades.
Passo 2
Primeiro, calculamos $ f(0,0,0) $:
Então, nossa condição para $ \epsilon $ fica:
Passo 3
Vamos substituir $ f(x, y, z) $:
Para facilitar, vamos focar no numerador e no denominador separadamente.
Passo 4
Observamos que o numerador $ |x + y + z| $ pode ser estimado usando a desigualdade triangular:
Além disso, sabemos que
e similar para $ |y| $ e $ |z| $. Portanto,
Passo 5
Agora, substituímos essa estimativa de volta na expressão original:
Queremos que isso seja menor que $ \epsilon $:
Passo 6
Para simplificar, notamos que $ 1 + x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 1 $. Portanto,
Assim, garantimos que
Passo 7
Agora, queremos que
Portanto, podemos escolher
Resposta
Então, para qualquer $ \epsilon > 0 $, podemos definir $ \delta = \frac{\epsilon}{3} $. Assim, se $ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} < \delta $, então $ |f(x, y, z) - f(0,0,0)| < \epsilon $, como queríamos demonstrar.