Seja f: R^3 R a função definida por f(x, y, z)=x+y+z1+x^2+y^2+z^2. Considere epsilon>0 um número positivo dado.
(1,0) Mostre que existe um de0 tal que, para todo ponto (x, y, z),
raizx^2+y^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por
f: R^3 R
Queremos mostrar que, para qualquer número positivo $ \epsilon > 0 $, existe um $ \delta > 0 $ tal que, se
f(x, y, z) = x + y + z1 + x^2 + y^2 + z^2
então
epsilon > 0
Isso está relacionado ao conceito de continuidade da função $ f $ no ponto $ (0,0,0) $. Vamos precisar usar a definição de limite para funções de várias variáveis e manipular desigualdades.

Passo 2

Primeiro, calculamos $ f(0,0,0) $:
f(0,0,0)
Então, nossa condição para $ \epsilon $ fica:
f(0,0,0) = 0 + 0 + 01 + 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0

Passo 3

Vamos substituir $ f(x, y, z) $:
f(x, y, z)
Para facilitar, vamos focar no numerador e no denominador separadamente.

Passo 4

Observamos que o numerador $ |x + y + z| $ pode ser estimado usando a desigualdade triangular:
|x + y + z|
Além disso, sabemos que
|x + y + z| <= |x| + |y| + |z|
e similar para $ |y| $ e $ |z| $. Portanto,
|x| <= raizx^2 + y^2 + z^2,

Passo 5

Agora, substituímos essa estimativa de volta na expressão original:
| x + y + z1 + x^2 + y^2 + z^2 | <= 3 raizx^2 + y^2 + z^21 + x^2 + y^2 + z^2
Queremos que isso seja menor que $ \epsilon $:
epsilon

Passo 6

Para simplificar, notamos que $ 1 + x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 1 $. Portanto,
1 + x^2 + y^2 + z^2 >= 1
Assim, garantimos que
3 raizx^2 + y^2 + z^21 + x^2 + y^2 + z^2 <= 3 raizx^2 + y^2 + z^2

Passo 7

Agora, queremos que
3 raizx^2 + y^2 + z^2 < epsilon Rightarrow raizx^2 + y^2 + z^2 < epsilon3
Portanto, podemos escolher
de

Resposta

Então, para qualquer $ \epsilon > 0 $, podemos definir $ \delta = \frac{\epsilon}{3} $. Assim, se $ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} < \delta $, então $ |f(x, y, z) - f(0,0,0)| < \epsilon $, como queríamos demonstrar.

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