Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função. Sabemos que, para valores pequenos de
,
é aproximadamente igual a
. Então, quando
e
estão próximos de zero, podemos aproximar:
Então, a função fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, para analisar o limite, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais
pode se aproximar de
. Se o limite depender do caminho escolhido, isso significa que o limite não existe.
Passo 4
Primeiro Caminho: Vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na função:
Então, ao seguir o caminho
, o limite é
.
Passo 5
Segundo Caminho: Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na função:
Sabemos que
tende a
quando
tende a
. Portanto:
- Se
se aproxima de por valores positivos, . - Se
se aproxima de por valores negativos, .
Passo 6
Observamos que ao seguir o caminho
, o limite depende do lado de onde
está se aproximando de
:
- Pelo lado positivo, o limite é
. - Pelo lado negativo, o limite é
.
Como esses limites são diferentes, isso indica que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe.