Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
(1,0) lim (x, y) (0,0) sen(x-y)|x|+|y|.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite da função sin(x - y)|x| + |y| quando (x, y) se aproxima de (0,0). Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função. Sabemos que, para valores pequenos de u, sin(u) é aproximadamente igual a u. Então, quando x e y estão próximos de zero, podemos aproximar:
sin(x - y) approx x - y
Então, a função fica aproximadamente:
x - y|x| + |y|

Passo 3

Agora, para analisar o limite, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais (x, y) pode se aproximar de (0,0). Se o limite depender do caminho escolhido, isso significa que o limite não existe.

Passo 4

Primeiro Caminho: Vamos considerar o caminho onde y = x. Substituindo na função:
sin(x - x)|x| + |x| = sin(0)2|x| = 02|x| = 0
Então, ao seguir o caminho y = x, o limite é 0.

Passo 5

Segundo Caminho: Agora, vamos considerar o caminho onde y = 0. Substituindo na função:
sin(x - 0)|x| + 0 = sin(x)|x|
Sabemos que sin(x)x tende a 1 quando x tende a 0. Portanto:
  • Se x se aproxima de 0 por valores positivos, sin(x)|x| approx 1.
  • Se x se aproxima de 0 por valores negativos, sin(x)|x| approx -1.

Passo 6

Observamos que ao seguir o caminho y = 0, o limite depende do lado de onde x está se aproximando de 0:
  • Pelo lado positivo, o limite é 1.
  • Pelo lado negativo, o limite é -1.
Como esses limites são diferentes, isso indica que o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim(x, y) to (0,0) sin(x - y)|x| + |y| não existe.

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