Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite da função de três variáveis
quando
. O conteúdo aqui envolve formas indeterminadas do tipo 0/0 e vamos precisar usar a fatoração de soma de cubos para simplificar.
Passo 2
Primeiro, verifiquemos o tipo de indeterminação fazendo a substituição direta: substituindo
,
e
temos no numerador
e no denominador
Portanto é uma forma indeterminada
.
Passo 3
Para resolver, aplicamos a fatoração de soma de cubos. Note que
e a fórmula de soma de cubos diz que
Tomando
e
, obtemos
Passo 4
Assim o quociente fica
Como
em qualquer ponto distinto de
, podemos cancelar esse fator e simplificar para
Passo 5
Agora que temos uma expressão contínua, basta avaliar em
. Calculamos
Passo 6
Portanto o limite existe e vale 12.
Resposta
12