Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
(1,0) lim (x, y, z) (-2,1,1) x^3 y^3+8 z^3x y+2 z.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função de três variáveis
x^3y^3 + 8z^3xy + 2z
quando
(x,y,z) to (-2,1,1). O conteúdo aqui envolve formas indeterminadas do tipo 0/0 e vamos precisar usar a fatoração de soma de cubos para simplificar.

Passo 2

Primeiro, verifiquemos o tipo de indeterminação fazendo a substituição direta: substituindo x=-2, y=1 e z=1 temos no numerador
(-2)^3cdot1^3 + 8cdot1^3 = -8 + 8 = 0
e no denominador
(-2)cdot1 + 2cdot1 = -2 + 2 = 0
Portanto é uma forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Para resolver, aplicamos a fatoração de soma de cubos. Note que
x^3y^3 + 8z^3 = (xy)^3 + (2z)^3
e a fórmula de soma de cubos diz que
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
Tomando a = xy e b = 2z, obtemos
x^3y^3 + 8z^3 = (xy + 2z)l((xy)^2 - (xy)(2z) + (2z)^2r)

Passo 4

Assim o quociente fica
x^3y^3 + 8z^3xy + 2z = (xy + 2z)l((xy)^2 - 2xy,z + 4z^2r)xy + 2z
Como xy+2zneq0 em qualquer ponto distinto de (-2,1,1), podemos cancelar esse fator e simplificar para
(xy)^2 - 2xy,z + 4z^2

Passo 5

Agora que temos uma expressão contínua, basta avaliar em (x,y,z)=(-2,1,1). Calculamos
(xy)^2 - 2xy,z + 4z^2 |(-2,1,1) = (-2cdot1)^2 - 2(-2cdot1)cdot1 + 4cdot1^2 = 4 + 4 + 4 = 12

Passo 6

Portanto o limite existe e vale 12.

Resposta

12

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