Sejam
três vetores quaisquer.
Um estudante afirma que
Você concorda ou discorda? Justifique.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos três vetores quaisquer $ u, v, w \in \mathbb{R}^{3} $ e precisamos verificar se a seguinte igualdade é verdadeira:
Para resolver isso, vamos utilizar propriedades dos produtos vetoriais e escalares, especialmente a identidade do produto vetorial triplo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão $ u \times (u \times v) $. Para isso, usamos a identidade do produto vetorial triplo:
Aplicando essa identidade com $ a = u $, $ b = u $ e $ c = v $, temos:
Passo 3
Sabemos que $ u \cdot u = |u|^{2} $. Substituindo na expressão anterior:
Agora, queremos calcular $ u \times [u \times (u \times v)] $. Já temos $ u \times (u \times v) $ na expressão acima, então substituímos:
Usando a propriedade distributiva do produto vetorial:
Passo 4
Observamos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero, ou seja, $ u \times u = 0 $. Portanto:
Assim, a expressão simplifica para:
Fatorando $ |u|^{2} $ que é um escalar:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar dessa expressão com o vetor $ w $:
Sabemos que o produto escalar de um vetor com um produto vetorial pode ser reescrito usando a identidade:
Aplicando isso:
Resposta
Concordo com a afirmação do estudante. A igualdade
é verdadeira.