Sejam u, v, w in R^3 três vetores quaisquer.
(1,0) Um estudante afirma que
u times[u times(u times v)] cdot w=-|u|^2 u cdot v times w
Você concorda ou discorda? Justifique.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos três vetores quaisquer $ u, v, w \in \mathbb{R}^{3} $ e precisamos verificar se a seguinte igualdade é verdadeira:
u, v, w in R^3
Para resolver isso, vamos utilizar propriedades dos produtos vetoriais e escalares, especialmente a identidade do produto vetorial triplo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão $ u \times (u \times v) $. Para isso, usamos a identidade do produto vetorial triplo:
u times (u times v)
Aplicando essa identidade com $ a = u $, $ b = u $ e $ c = v $, temos:
a times (b times c) = b(a cdot c) - c(a cdot b)

Passo 3

Sabemos que $ u \cdot u = |u|^{2} $. Substituindo na expressão anterior:
u cdot u = |u|^2
Agora, queremos calcular $ u \times [u \times (u \times v)] $. Já temos $ u \times (u \times v) $ na expressão acima, então substituímos:
u times (u times v) = u(u cdot v) - v|u|^2
Usando a propriedade distributiva do produto vetorial:
u times [u times (u times v)]

Passo 4

Observamos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero, ou seja, $ u \times u = 0 $. Portanto:
u times u = 0
Assim, a expressão simplifica para:
u times [u(u cdot v)] = 0
Fatorando $ |u|^{2} $ que é um escalar:
u times [u times (u times v)] = - u times [v|u|^2]

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar dessa expressão com o vetor $ w $:
w
Sabemos que o produto escalar de um vetor com um produto vetorial pode ser reescrito usando a identidade:
u times [u times (u times v)] cdot w = -|u|^2 (u times v) cdot w
Aplicando isso:
(a times b) cdot c = a cdot (b times c)

Resposta

Concordo com a afirmação do estudante. A igualdade
u times [u times (u times v)] cdot w = -|u|^2 , u cdot (v times w)
é verdadeira.

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