Encontre a solução para o seguinte PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem com uma condição inicial. Nosso objetivo é encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz a equação:
com a condição inicial $ y(\pi) = \frac{3}{2} \pi^{4} $. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por $ t $:
Agora, identificamos $ P(t) = -\frac{2}{t} $ e $ Q(t) = t^{4} \sin(2t) - t^{2} + 4 t^{3} $.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que a gente calcula usando a fórmula:
Então, vamos integrar $ P(t) $:
Passo 4
Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação padrão por $ \mu(t) $:
Simplificando:
Mas, por definição do fator integrante, a parte esquerda da equação se transforma na derivada do produto $ \mu(t) y $:
Passo 5
Agora, para encontrar $ y(t) $, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo:
- $ \int t^{2} \sin(2t) dt $: Aqui usamos integração por partes duas vezes.
- $ \int (-1) dt = -t $.
- $ \int 4 t dt = 2 t^{2} $.
Após resolver a integral de $ t^{2} \sin(2t) $, obtemos:
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Multiplicando ambos os lados por $ t^{2} $ para isolar $ y $:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(\pi) = \frac{3}{2} \pi^{4} $ para encontrar a constante $ C $:
Sabemos que $ \cos(2\pi) = 1 $ e $ \sin(2\pi) = 0 $, então:
Simplificando:
Subtraindo $ \frac{3}{2} \pi^{4} $ dos dois lados:
Resposta
A solução do PVI é: