Encontre a solução para o seguinte PVI:
t y^prime-2 y=t^5 sin (2 t)-t^3+4 t^4, y(pi)=32 pi^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem com uma condição inicial. Nosso objetivo é encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz a equação:
y(t)
com a condição inicial $ y(\pi) = \frac{3}{2} \pi^{4} $. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
y^prime + P(t) y = Q(t)
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por $ t $:
t
Agora, identificamos $ P(t) = -\frac{2}{t} $ e $ Q(t) = t^{4} \sin(2t) - t^{2} + 4 t^{3} $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que a gente calcula usando a fórmula:
mu(t)
Então, vamos integrar $ P(t) $:
mu(t) = e^integral P(t) dt

Passo 4

Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação padrão por $ \mu(t) $:
mu(t)
Simplificando:
t^-2 y^prime - 2t t^-2 y = t^-2 ( t^4 sin(2t) - t^2 + 4 t^3 )
Mas, por definição do fator integrante, a parte esquerda da equação se transforma na derivada do produto $ \mu(t) y $:
t^-2 y^prime - 2 t^-3 y = t^2 sin(2t) - t^0 + 4 t

Passo 5

Agora, para encontrar $ y(t) $, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
y(t)
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. $ \int t^{2} \sin(2t) dt $: Aqui usamos integração por partes duas vezes.
  2. $ \int (-1) dt = -t $.
  3. $ \int 4 t dt = 2 t^{2} $.
Após resolver a integral de $ t^{2} \sin(2t) $, obtemos:
integral t^2 sin(2t) dt

Passo 7

Juntando tudo, temos:
t^-2 y = -t^2 cos(2t)2 + t sin(2t)2 + cos(2t)4 - t + 2 t^2 + C
Multiplicando ambos os lados por $ t^{2} $ para isolar $ y $:
t^2

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(\pi) = \frac{3}{2} \pi^{4} $ para encontrar a constante $ C $:
y(pi) = 32 pi^4
Sabemos que $ \cos(2\pi) = 1 $ e $ \sin(2\pi) = 0 $, então:
C
Simplificando:
32 pi^4 = -pi^4 cos(2pi)2 + pi^3 sin(2pi)2 + pi^2 cos(2pi)4 - pi^3 + 2 pi^4 + C pi^2
cos(2pi) = 1
Subtraindo $ \frac{3}{2} \pi^{4} $ dos dois lados:
sin(2pi) = 0
32 pi^4 = -pi^42 + 0 + pi^24 - pi^3 + 2 pi^4 + C pi^2
32 pi^4 = (-12 + 2) pi^4 + pi^24 - pi^3 + C pi^2,

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = -t^4 cos(2t)2 + t^3 sin(2t)2 + t^2 cos(2t)4 - t^3 + 2 t^4 + (pi - 14) t^2

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