Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 2 x^2 y+y^3x^2+y^2

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer descobrir
lim(x,y)to(0,0) 2x^2y + y^3x^2+y^2
Conteúdo: limites de funções de duas variáveis.
O que vamos precisar: entender o conceito de limite em R^2, usar coordenadas polares e aplicar o teorema do sanduíche (squeeze theorem).

Passo 2

Coordenadas polares na moral: definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e theta é o ângulo. A grande sacada é que
x^2 + y^2 = r^2,
e quando (x,y)to(0,0), a gente tem rto0 (independente de theta).

Passo 3

Substituindo na função:
Numerador
2x^2y + y^3 = 2(rcostheta)^2,(rsintheta) ;+;(rsintheta)^3 = 2r^3cos^2thetasintheta ;+; r^3sin^3theta = r^3l(2cos^2thetasintheta + sin^3thetar)
Denominador
x^2+y^2 = r^2
Então a fração vira
2x^2y + y^3x^2+y^2 = r^3l(2cos^2thetasintheta + sin^3thetar)r^2 = r,l(2cos^2thetasintheta + sin^3thetar)

Passo 4

Agora nota que
g(theta)=2cos^2thetasintheta + sin^3theta
é uma função limitada (por exemplo |g(theta)|<=3 para todo theta).
Logo
|2x^2y + y^3x^2+y^2| = |r,g(theta)| <= rcdot 3
Como rto0 faz rcdot3to0, pelo teorema do sanduíche a nossa expressão tende a 0.

Resposta

0

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