Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer descobrir
Conteúdo: limites de funções de duas variáveis.
O que vamos precisar: entender o conceito de limite em , usar coordenadas polares e aplicar o teorema do sanduíche (squeeze theorem).
Passo 2
Coordenadas polares na moral: definimos
onde e é o ângulo. A grande sacada é que
e quando , a gente tem (independente de ).
Passo 3
Substituindo na função:
Numerador
Denominador
Então a fração vira
Passo 4
Agora nota que
é uma função limitada (por exemplo para todo ).
Logo
Como rto0 faz rcdot3to0, pelo teorema do sanduíche a nossa expressão tende a 0.