Utilize o teorema de Green, se possível, para expressar cada uma das integrais de linha abaixo por meio de uma integral dupla. Se não for possível utilizar o teorema de Green, justifique o por que.
Se C for o quadrado de vértices ( pm 1, pm 1) orientado no sentido anti-horário, então
integralC -yx d x+xy d y=

Passo 1

Beleza, temos a integral de linha
ointC -yx,dx ;+;xy,dy
onde C é o quadrado de vértices (pm1,pm1), orientado anti-horário. A matéria aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema de Green. Para usar o Teorema de Green a gente precisa que as funções
P(x,y) = -yx, Q(x,y)=xy
tenham derivadas parciais contínuas numa região aberta que contenha todo o interior do quadrado.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, se P e Q são contínuas (e têm partial P/partial y, partial Q/partial x contínuas) numa região simplesmente conexa D e C=partial D, então
ointC P,dx+Q,dy ;=;integral duplaD!l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Logo, antes de tudo a gente precisa checar se P e Q estão bem definidas e suaves em todo interior do quadrado.

Passo 3

Repara que
P(x,y)=-yxnão existe em x=0, Q(x,y)=xynão existe em y=0 ãã
Mas o interior do quadrado [-1,1]times[-1,1] inclui toda a reta x=0 e toda a reta y=0. Isso quebra a hipótese do Teorema de Green, porque não dá pra ter derivadas contínuas de P e Q passando por onde elas não estão nem definidas.

Passo 4

Sem a definição de P e Q nessas “linhas” do interior, a região deixa de ser um domínio onde podemos aplicar Green. Além disso, a região fica não simplesmente conexa para o campo (tem “buracos” onde x=0 ou y=0).

Resposta

Não dá para usar o Teorema de Green, pois o campo vetorial l(-y/x,;x/yr) não está definido (nem tem derivadas contínuas) em todo o interior do quadrado — faltam as retas x=0 e y=0. Portanto não podemos reescrever essa integral de linha como integral dupla.

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