Utilize o teorema de Green, se possível, para expressar cada uma das integrais de linha abaixo por meio de uma integral dupla. Se não for possível utilizar o teorema de Green, justifique o por que.
Se
for o quadrado de vértices
orientado no sentido anti-horário, então
Se
Passo 1
Beleza, temos a integral de linha
onde
é o quadrado de vértices
, orientado anti-horário. A matéria aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema de Green. Para usar o Teorema de Green a gente precisa que as funções
tenham derivadas parciais contínuas numa região aberta que contenha todo o interior do quadrado.
Passo 2
O Teorema de Green diz que, se
e
são contínuas (e têm
,
contínuas) numa região simplesmente conexa
e
, então
Logo, antes de tudo a gente precisa checar se
e
estão bem definidas e suaves em todo interior do quadrado.
Passo 3
Repara que
Mas o interior do quadrado
inclui toda a reta
e toda a reta
. Isso quebra a hipótese do Teorema de Green, porque não dá pra ter derivadas contínuas de
e
passando por onde elas não estão nem definidas.
Passo 4
Sem a definição de
e
nessas “linhas” do interior, a região deixa de ser um domínio onde podemos aplicar Green. Além disso, a região fica não simplesmente conexa para o campo (tem “buracos” onde
ou
).
Resposta
Não dá para usar o Teorema de Green, pois o campo vetorial
não está definido (nem tem derivadas contínuas) em todo o interior do quadrado — faltam as retas
e
. Portanto não podemos reescrever essa integral de linha como integral dupla.